Купонная облигация

Вычисляя доходность к погашению для купонной облигации, используем тот же подход, что и для ссуды с фиксированными платежами: приравняем сегодняшнюю стоимость облигации к ее текущей стоимости.

Вычислим текущую стоимость облигации номиналом 1000 долл. с периодом погашения 10 лет и ежегодным купонным платежом 100 долл. (купонной ставкой 10%). Текущая стоимость купонного платежа в сумме 100 долл. в конце первого года составит: PV= 100/(l+i) долл.; текущая стоимость такого же платежа в конце второго года— 100/(Ж)2долл., и т.д. — вплоть до наступления срока погашения с купонным платежом 100/(1+г)10, плюс 1000 долл. номинальной стоимости с PV= 1000/ (1+i)10 долл. Приравнивая сегодняшнюю стоимость облигации Р(ее текущую цену) к сумме текущих дисконтированных стоимостей всех платежей по этой облигации, получаем:

_ 100 долл. 100 долл. 100 долл. 100 долл. _ 1000 долл.

1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 \'" (1 + i)10 (1 + i)10 \'

Обобщим эту формулу для любой купонной облигации3:

С С С С F

Р = + 5- + з- + - + + С43)

1 + i (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)" (1 + i)" v \' где Р—текущая цена купонной облигации, С — ежегодный купонный платеж, F — номинальная стоимость облигации, п — количество лет до момента погашения. \r\nВ уравнении (4.3) ежегодный купонный платеж, номинальная стоимость и количество лет до момента погашения — известные величины, и только доходность к погашению не известна. Как и в случае ссуды с фиксированными платежами, вычисление неизвестной доходности к погашению i — нелегкая задача, которая решается с помощью специальных программ, встроенных в профессиональные карманные

4

калькуляторы .

Рассмотрим несколько примеров определения доходности к погашению по нашей купонной облигации с купонной ставкой 10% и периодом погашения 10 лет.

Таблица 4.1. Доходность к погашению облигации с купонной ставкой 10% и сроком погашения через 10 лет (номинальная стоимость облигации 1000 долл.)\r\nЦена облигации (долл.) Доходность к погашению (%)\r\n1200 7,13\r\n1100 8,48\r\n1000 10,00\r\n900 11,75\r\n800 13,81\r\n1. На основе данных табл. 4.1 можно сделать три важных вывода.

Если цена купонной облигации равна ее номинальной стоимости, то доходность к погашению равна купонной ставке.

Цена купонной облигации и доходность к погашению находятся в обратной зависимости, т.е. когда доходность к погашению возрастает, цена купонной облигации падает, и наоборот.

Доходность к погашению выше купонной ставки, когда цена облигации ниже ее номинальной стоимости. \r\nСправедливость этих трех утверждений для любой купонной облигации следует из расчета доходности к погашению. Когда вы кладете 1000 долл. на банковский счет при процентной ставке 10% на 10 лет, это позволяет вам снимать 100 долл. процентов ежегодно и 1000 долл. в конце десятилетнего периода. То же самое происходит при покупке купонной облигации номинальной стоимостью в 1000 долл. с купонной ставкой 10%, рассматриваемой в табл. 4.1. По этой облигации выплачивается ежегодный купонный платеж в сумме 100 долл., а в конце десятилетнего периода облигация выкупается за 1000 долл. Если цена облигации равна номинальной стоимости, доходность к погашению должна равняться 10%, совпадая с купонной ставкой 10%. Рассуждая подобным образом в случае любой купонной облигации, приходим к вы-

воду о том, что если купонная облигация покупается по номинальной стоимости, то доходность к погашению равна купонной ставке.

Легко показать также, что цена облигации и доходность к погашению находятся в обратной зависимости.

Заслуживает отдельного рассмотрения такой частный случай купонной облигации, как консоль. Эта купонная облигация не имеет срока погашения и не предусматривает возмещения основной суммы долга, принося постоянный ежегодный платеж в С долларов. Впервые консоли были проданы Казначейством Великобритании во времена войн с Наполеоном и находятся в обращении до сих пор; однако на американских финансовых рынках они встречаются крайне редко. Уравнение (4.3) для

5

цены консоли упрощается :

р = 7 > <4-4)

где Р — цена консоли, С — ежегодный платеж.

Замечательное свойство консоли состоит в том, что цена облигации падает пропорционально увеличению г. Например, если консоль приносит 100 долл. ежегодно, а процентная ставка равна 10%, то ее цена составляет 100/0,10 = 1000 долл. Если процентная ставка поднимется до 20%, то цена консоли упадет до 100/0,20 = 500 долл. Формулу (4.4) можно переписать в виде:

С

1 = р (4-5)

Используя формулу (4.5), можно легко вычислить доходность к погашению для консоли (несмотря на то, что она никогда не будет погашена). Например, если кон-

5 Формула цены облигации в случае консоли:

с с с

Р = + г- + 7 + -1

1 + i (1 + 0 (1 + i)3

что можно переписать в виде:

Р = Сх(х + х2 + х3 + ...),

где х= 1/(1+г) - Формула для бесконечной суммы:

1 + х + х2 + х3 + ... = при х < 1.

у

1 - х

Следовательно:

р = Сх( 1) = Сх 1 - 1

1-х .1 - 1/(1 + «)

или после несложных алгебраических преобразований: \r\nсоль приносит ежегодно 100 долл., а ее цена составляет 2000 долл., то доходность к погашению составляет 100/2000 = 5%.

Дисконтная облигация

Доходность к погашению для дисконтной облигации вычисляется так же, как и для простой ссуды. В качестве примера дисконтной облигации рассмотрим облигацию Казначейства США номиналом 1000 долл. со сроком погашения через один год. Пусть текущая цена покупки облигации равна 900 долл. Из условия равенства текущей цены облигации и ее текущей номинальной стоимости, выплачиваемой через год, приходим к уравнению:

._„ 1000 долл.

900 долл. = .

1 + i

Решаем уравнение относительно i:

(1 + i) х 900 долл. = 1000 долл.

. = 1000 долл. - 900 долл. _ = \\\\\\%

900 долл.

В общем случае доходность к погашению для годовой дисконтной облигации можно вычислить по формуле

F - Р

г = , (4.6)

где F — номинальная стоимость дисконтной облигации, Р — цена покупки дисконтной облигации. \r\n