Выпуклость и точка перегиба графика функции

Определение 2. Будем говорить, что график функции т/=/(л) имеет на интервале (а, Ь) сътукяафпъ, направленную стіш (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, Ь) (рис.

Рис. БД. Выпуклость графика функции на интервале (а, Ь, а — направленная вниз; 6 — направленная вверх

Способ определения направления выпуклости графика функции лаете* теоремой.

Теорема 6.5. Если функция // =/(.V) имеет п 1 интервале (й /;) вторую производную и/’ (.г) > 0 (/" (л-} < 0> на (й, Ь). то график функции имеет на (й, !/) выпуклость, направленную вина (вверх).

Определение 3. Точка М (л „ /(д0)) называется точкой перегиба графика функции у = /(л), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки .г0, в пределах ко юрой график функции/(.г) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с ОД1ЮП стороны касательной на другую, т. е. «перегибается» черев нее (рис. 6.-1).

Рис. £.4. Перегиб графика функции М — точка перегиба

Теорема 6.6 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции у = /(.г) имеет перегиб в точке М (.vu,/(.Тц)) н функция J(x) имест в точке А„ нейрерЫВПVЮ ffmpvili иропзводную. Тогда

Отметим, что не всегда у слоил С /\' (л„) = 0 означает наличие точки не решба на графике функции у=/{^).

Теорема 6.7 (достаточное условие точки перегиба) Пусті, функция у =] (л 1 имеет вторую производную в некотором окрест ноетII ТОЧКИ гч, которая имеет разные знаки слева и справа пт .г„. Тогда график У- / (.V) ІІМЄЄТ Перегиб В ТОЧКе Л/ (,Г0, / (-Гу)).

Теорема нерпа н дай случая, киї ,ча/\' (л) существует и некоторой окрестности точки д_о на иск. по чем і гем самой точки ,гг и сущее1 із ует каса і ельнія к графику функции и точке Л/ Например, функция/ЛЛ= г ^ в точке т = 0 имеет бесконечные производные: в точке 0 (0, 0) касательная сонм ідаег с осью Цу. Одиайо і рафик згой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку вторая производная /" (г) = = -2/(9г ’) имеет разные знаки слева и справа от точки д = О (рис. 6.5)

Рис. 6.5. График функции /(*) = к115 с точкой перегиба в начале координат

Решение. Вторая производная равна

Приравнивая се к нулю, получаем критические точки д, = 0, .г, = 2. В точке перегиба Л/, (0. 1п 2) график функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа: в другой точке перегиба М, (2,1п 2) выпуклость графика функции вина слева меняется па выпуклость він р справа.

6.3.3.