Сравнение альтернативных моделей

(12.8)

(12.9)

(12.10)

(12.11)

Техника сравнения альтернативных моделей может быть достаточно сложной, и здесь мы ограничимся очень кратким частичным рассмотрением некоторых вопросов.

1. у,=              Хо + Vm +              +              Vm              +              *4Р,+ \\sFf-i + «**;
2. у,=              Хо + А,ум + Хрс,              +              Xjgt;,              +              Ид,;
3. у,—              Xq              +              А.|У,_|              + Х2х, AjAjX,.! + Xrf), — X(Xjgt;^x + иСр
4. у = \\о              +А2х,              +\\jgt;,              +              uD

Модели В и С включены в А, поскольку, как было отмечено в разделе 7.9, обе являются ее ограниченными версиями: модель В налагает нулевые ограничения на коэффициенты при и (это, конечно, просто другой способ отражения того, что эти переменные исключены из модели), модель С налагает ограничение на общий множитель, объясненное в разделе 7.9.

Лучше всего начать с самой общей модели — модели Л. В случае расходов на жилье, если мы сравним Ас С, то обнаружим, что ограничение на общий множитель, присутствующее в модели С, отвергается (см. раздел 7.9). Следова-

тельно, модель С находится за пределами списка приемлемых моделей. Если мы сравним модель Л с В, то обнаружим, что В является хорошей альтернативой Л, поскольку оцененные коэффициенты при и незначимо отличаются от нуля, как это было показано в разделе 7.9. На самом деле вместо использования /-теста для отдельных коэффициентов следовало бы применить /"-тест для их совместной объясняющей способности, и именно это будет сделано. Сумма квадратов отклонений для модели А равна 0,00076 и для модели В — 0,00080. Соответствующая F-статистика, имеющая 2 и 18 степеней свободы, равна 0,47. Она незначима даже при 5-процентном уровне значимости, поэтому модель В выдерживает данный тест. Наконец, модель D должна быть отвергнута, поскольку ограничение, согласно которому коэффициент при у^, равен нулю, отвергается с помощью простого /-теста. (Во всех этих рассуждениях мы предполагали, что процедуры тестов не зависят существенно от использования лаговых зависимых переменных в качестве объясняющих. Как вы знаете, это безусловно верно только для больших выборок.)

Приведенный пример иллюстрирует возможность как успеха, так и неудачи проведения тестов в случае включенной структуры моделей: успех — в отклонении двух из четырех моделей и неудача — поскольку некоторая неопределенность в итоге осталась. Есть ли основания предпочесть модель А модели В или наоборот? Многие авторы (например, Дэвид Хендри — уже упоминавшийся шотландский исследователь) сказали бы, что следует предпочесть модель В как более экономную, но не в смысле экономии денег, а в смысле экономии использования параметров: модель А требует оценки шести параметров, модель В — только четырех.

обычно нетрудно придумать большое число потенциально подходящих объясняющих переменных, коэффициенты при которых оказываются незначимыми, и сохранение в итоге одной или двух из них в модели будет произвольным. Что делать в случае, когда конкурирующие модели оказываются невключенными моделями? Одна из возможных тактик — построить объединенную модель, включающую эти две модели как свои ограниченные версии, и проверить, имеется ли какой-либо прогресс при оценке каждой из моделей по сравнению с их объединением. Предположим, например, что модели Fи (/одинаковы во всем, кроме спецификации их независимых переменных. Обе модели включают переменные х,...хе как регрессоры. Модель /"содержит также переменные хг+1... х/(подмножество F). Модель G не включает их, но вместо этого содержит переменные х/+|... xg (подмножество G). Объединенная модель Е будет вмешать все три подмножества независимых переменных. Теперь необходимо провести два теста. Приняв в качестве нулевой гипотезы предположение о том, что модель Е имеет верную спецификацию, проверим совместную объясняющую способность переменных из подмножества F и, отдельно от них, из подмножества G. Здесь возможны четыре исхода: 1) оба подмножества/"и (/обладают значимой объясняющей способностью. Это довольно неожиданный исход, поскольку он влечет отклонение обеих моделей F и G в пользу не рассматривавшегося прежде их объединения;

2. подмножество /"обладает значимой объясняющей способностью, а (7— нет.
   Тогда следует отклонить модель G и принять модель F. Модель Е также не может быть принята; 3) результат, противоположный (2), с соответствующими выводами; 4) ни подмножество F, ни G не обладают значимой объясняющей способностью. Обе модели F и G продолжают рассматриваться, как и модель Е.

(12.12)

(12.13)

Для того чтобы сделать наши рассуждения более конкретными, рассмотрим следующий простой пример, в котором подмножества Fи (/содержат всего лишь по одной переменной. Модели Fи (/выглядят следующим образом:

Модель F              у = а + р,х, + Р2х2 + uF;

Модель G              у = а + р,х, + Р3х3 + ис.

(12.14)

Подмножество F совпадает с х2, подмножество G — с х3. Объединенная модель Е имеет следующий вид:

Модель Е у = а + р,х, + PjX2 + Р3х3 + и?.

В этом случае F-тест на объясняющую способность подмножеств /"и (/сводится к /-тесту для коэффициентов при х2 и х3 соответственно. После оценки модели Е возможны четыре исхода: 1) оба коэффициента Ь2 и Ь3 значимо отличаются от нуля. Переменные х2 и х3 должны быть включены в модель. Тем самым, модели F и G отклоняются, модель Е — принимается; 2) коэффициент Ь2 значимо отличается от нуля, а Ь3 — нет. В этом случаех2 должна быть включена, а х3 может быть включена в модель (тот факт, что коэффициент при переменной оказался незначимым, вовсе не означает, что переменная должна быть обязательно исключена из модели; это может быть действительно объясняющая переменная, но ее воздействие может быть слабым, а размер выборки — очень малым для того, чтобы коэффициент при переменной значимо отличался от нуля). Мы отклоняем модель С и принимаем модели F и Е; 3) коэффициент Ь3 значимо отличается от нуля, а А, — нет. Такой же вывод, как и в (2), только

F и G меняются местами; 4) ни b2, ни А3 не отличаются значимо от нуля. Все три модели принимаются, поскольку х2 и х3, несмотря на свои незначимые коэффициенты, могут оказаться действительно объясняющими переменными.

Очевидно, этот подход порождает множество возможных проблем. Во-первых, во всех тестах модель Е используется как нулевая гипотеза, что может оказаться не совсем приемлемым в данном конкретном случае. Если модели/и G построены на основании различных принципов, их объединение может быть достаточно странным и неприемлемым с точки зрения экономической теории. В этом случае общих рамок для проведения тестов не существует. Во-вторых, четвертый исход, когда остается неопределенность, может появляться довольно часто. Если модели F и G были построены достаточно аккуратно, то вполне вероятно, что модель Е будет обладать малой дополнительной объясняющей способностью и оба /-теста окажутся незначимыми. Для выхода из этой ситуации были предложены различные процедуры, но они выходят за рамки книги (более развернутый анализ этих проблем и дальнейшие ссылки см. в работе Я. Кменты [Kmenta, 1986, pp. 595—598]).