Две независимых переменных

Если истинная зависимость имеет вид:

у = а + р,х, + р2х2 + и,              (5.35)

и вы получили уравнение регрессии

у = a + bxxx + byc2,              (5.36)

использовав необходимые данные, то теоретическая дисперсия вероятностного распределения для Ьх будет описываться выражением:

рорїаг(і1gt;-^і)ХГ^7\'              lt;М7gt;

где а2 — теоретическая дисперсия величины и.

Из уравнения (5.37) можно видеть, что, как и в случае парного регрессионного анализа, желательно, чтобы величины п и Var (х,) были большими, а величина а 2 — малой. Однако теперь мы получили еще и член (1 - ^ Х2), и вполне очевидно, что желательно иметь слабую корреляцию между х, и х2.

Этому легко дать интуитивное объяснение. Предположим, что истинная зависимость имеет вид:

у = 2 + ЗХ[ + х2 + и.              (5.38)

Предположим, что между х, и х2 существует нестрогая линейная зависимость:

х2 = 2х,-1,              (5.39)

и допустим, что величина х, увеличивается на одну единицу в каждом наблюдении. Тогда х2 увеличится на две единицы, а у — на пять единиц, как показано, например, в табл. 5.2.

При рассмотрении этих данных можно прийти к любому из следующих выводов:

1. величина у определяется уравнением (5.38) (правильное утверждение);
2. величина х2 не имеет отношения к данному случаю, и величина у определяется зависимостью:

у = 1 + 5х, + и;

3. величина х, не имеет отношения к данному случаю, и величина у определяется зависимостью:

у = 3,5 + 2,5х2 + и.

В действительности этими возможностями дело не ограничивается.

При использовании регрессионного анализа или любого другого метода применительно к данному случаю трудно провести различие между этими возможностями, и полученные оценки будут очень чувствительными по отношению к случайному члену и могут содержать значительные ошибки. Дисперсии коэффициентов регрессии будут большими, что, очевидно, является другим способом выражения того же самого.

Если истинная зависимость (5.39) была строгой, то при оценивании представляется совершенно невозможным провести различие между всеми вероятными зависимостями, поскольку каждая из них будет одинаково хорошо соответствовать данным. Вы даже не сможете вычислить коэффициенты регрессии, так как и числитель и знаменатель уравнения (5.12) будут равны нулю.

Если между х, их2 существует нестрогая линейная зависимость, то коэффициент корреляции rXiJ2 будет близким к единице, если зависимость положи-

тельна, и к минус единице, если зависимость отрицательна, и в обоих случаях гД л будет близким к единице. В результате знаменатель второго члена в уравнении (5.37) будет близок к нулю, а теоретические дисперсии Ьх и Ь2 будут большими числами. В предельном случае наличия строгой линейной зависимости дисперсии будут стремиться к бесконечности.

Отметим, что отсюда не следует автоматически, что величины 6, и Ь2 будут иметь большие теоретические дисперсии, если междух, и х^ существует нестрогая линейная зависимость. Дисперсии зависят также от п и о2, как и в случае парного регрессионного анализа. Если п велико, а а2 — мало, то теоретические дисперсии 6, и Ьг могут быть небольшими, несмотря на нестрогую линейную зависимость. Если имеется большой объем информации (я велико), а случайный фактор является относительно незначимым (а2 мало), то все еще можно разграничить влияние х, и х2 на величину у.