Декурсивный метод начисления простых процентов

ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЯ:

S - наращенная сумма, р.;

P - первоначальная сумма долга, р.;

i - годовая процентная ставка (в долях единицы);

n - срок ссуды в годах.

В конце первого года наращенная сумма долга составит

S1 = P + P i = Р (1+ i);

в конце второго года:

S2 = S1 + P i = Р (1+ i) + P i = Р (1+ 2 i ); в конце третьего года:

S3 = S2 + Pi = Р (1+ 2 i) + P i = Р (1+3 i) и так далее.

Это формула наращения по простой ставке процентов. Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок - в кварталах и т.д.).

Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:

КН = (1+ n i).

Следовательно,

Si = Р Кн.

Задача 5.1

Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.

РЕШЕНИЕ:

S = 5 млн. (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5 300 000 р.

Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна S = Р (1 + д/К • i),

где д - продолжительность срока в днях;

К - число дней в году.

Величину К называют временной базой.

Временная база может браться равной фактической продолжительности года - 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).

Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи денег в долг и дата их возвращения считается за один день.

Задача 5.2

Банк выдал ссуду в размере 200 тыс.

РЕШЕНИЕ:

Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:

20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.

Приближенное число дней ссуды:

20+8-30+25=285;

а) Точные проценты и точное число дней ссуды:

S =200 000 (1+289/366 ¦ 0.07) = 211 016 р.;

б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:

S =200 000 (1+289/360 ¦ 0.07) =211 200;

в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:

S= 200 000 (1+285/360 ¦ 0.07) =211 044;

г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:

S= 200 000 (1+285/366 ¦ 0.07) =210 863.

Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая - в варианте г) - точные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика - вариант г).

Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику - точные (при любых ставках - простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае - меньше.

Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле

N

S = Р (1 + I nt • it),

t=1

где N - количество интервалов начисления процентов;

nt - длительность t-го интервала начисления;

it - ставка процентов на t- м интервале начисления.

Задача 5.3

Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.

Решение:

S = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 • 0.12 + 0.5 • 0.14 + 0.5 • 0.16 + 0.5 • 0.18) = 70 000 р.

Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.

Срок ссуды в годах:

S - P N = .

P • i

Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс.

РЕШЕНИЕ:

(250 000 - 200 000) / (200 000 • 0.16) = 1.56 (лет).

Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.

Решить самостоятельно

Задача 5.5

При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов.

ОТВЕТ: 17%.

Задача 5.6

Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.

ОТВЕТ: 480 000Р.

Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значению S. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием,

называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.

Формула дисконтирования по простой ставке процентов:

P = S / (1 + ni), где 1 / (1 + ni) - коэффициент дисконтирования.