4. ПРОБЛЕМА СТИМУЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ ТРУДА
Экономика труда - раздел экономической теории, изучающий функционирование рынка в сфере труда, то есть поведение работодателей и работников в ответ на действие общих факторов: заработной платы, цен, условий труда и т.д. В контексте исследования задач стимулирования нас будет интересовать индивидуальное поведение на рынке труда (точнее, те его составляющие, которые определяются действующими на этом рынке механизмами и системами стимулирования), то есть принципы принятия решений агентом, являющимся субъектом рынка труда. Поэтому в настоящем разделе описывается модель взаимодействия агента и центра (соответственно, работника и предприятия), то есть в основном рассматривается эффективная, а не рыночная заработная плата.Прерогативой агента - стороны, предлагающей рабочую силу на рынке труда, является, в частности, определение (совместно с работодателем) продолжительности рабочего времени, понимаемой в широком смысле - и как продолжительность рабочего дня, и как возможную работу в течение неполного рабочего дня и т.д. Для простоты будем считать, что единственной альтернативой рабочему времени является время, затрачиваемое на досуг, поэтому предложение труда эквивалентно спросу на досуг [17].
Опять же для упрощения изложения, пока не будет оговорено особо, будем считать, что совокупный доход пропорционален количеству отработанных часов, то есть, предположим, что на рынке труда используются только пропорциональные (повременные) системы стимулирования, в которых ставка оплаты постоянна и не зависит от суммарного количества отработанных часов.
Проанализируем поведение агента на рынке труда, то есть, исследуем его предпочтения в дилемме «труд - досуг», в рамках которой характеристикой предложения труда является желаемая продолжительность рабочего времени. Анализ будем проводить, последовательно усложняя описание модели поведения - от каче-
ственного вербального обсуждения к графическому анализу и, наконец, к формальной математической модели .
В экономике труда считается, что индивидуальное поведение на рынке рабочей силы определяется двумя эффектами - дохода и замещения [17].
Опишем модель принятия агентом решения относительно продолжительности рабочего времени.Пусть полезность агента u(q, t) зависит от его дохода q е Ж1 и продолжительности ежедневного свободного времени (времени досуга) t е [0; T], где свободное и рабочее время t е [0; T] связаны условием t + t = T. В некоторых работах зарубежных авторов полезность определяется на множестве пар «время досуга агента х количество товаров и услуг, которые он может приобрести». По-нятно, что если цены на товары и услуги фиксированы, то такое представление эквивалентно введенному выше.
Предположим, что функция полезности u(q, t) непрерывно дифференцируема, частично строго монотонна и имеет убывающие и выпуклые кривые безразличия.
Если у агента отсутствуют нетрудовые доходы (non-wage income), то его доход равен заработной плате и однозначно определяется продолжительностью рабочего времени, то есть q(t) = o(t).
Функция полезности u( ) ставит в соответствие каждой альтернативе - паре (q, t) - действительное число, интерпретируемое как полезность этой альтернативы. Считается, что чем выше по-лезность альтернативы, тем «лучше» она с точки зрения данного агента.
Предположим, что u( ) - монотонная непрерывная функция своих переменных, то есть как увеличение дохода при фиксиро-
ванном времени досуга, так и увеличение времени досуга при фиксированном доходе, приводят к увеличению полезности .
Некоторому фиксированному значению полезности g может соответствовать целое множество альтернатив, имеющих эту полезность: {(q, t) | u(q, t) = g}. Если изобразить это множество в координатах (t, q), то получим кривую безразличия (изокванту), которую также обозначим g Кривые безразличия функции полезности агента в рассматриваемой модели обладают следующими свойствами:
1. Если gi и g2 - две кривые безразличия, и g2 > gi, то кривая g2 расположена выше и правее кривой gi (см. рисунок 10) .
![Рис.<div class=]()
10. Кривые безразличия и бюджетное ограничение" />t
Рис. 10. Кривые безразличия и бюджетное ограничение
Кривые безразличия не имеют общих точек.
Кривая безразличия строго монотонно убывает. Это ее свойство имеет следующую содержательную интерпретацию: при фиксированном уровне полезности нельзя одновременно увеличить и доход, и время досуга.
Кривая безразличия является выпуклой. Это менее очевидное, но признаваемое почти всеми исследователями, свойство качественно отражает представление о том, что агент больше ценит то, чего ему сильнее не хватает (любая комбинация дохода и свободного времени более ценна, чем каждая из компонент по отдельности). Действительно, в соответствии с первым законом Госсена каждая следующая единица потребляемого блага имеет для потребителя меньшую ценность, чем его предшествующая единица. Этот закон касается только тех благ или ресурсов, каждая следующая единица которых, будучи вовлеченной в процесс потребления, делает этот ресурс менее редким. К такому типу ресурсов относятся и доход, и свободное время.
Кривые безразличия в совокупности «покрывают» всю плоскость (t, q). В том числе, каждая внутренняя точка первого квадранта этой координатной плоскости принадлежит одной и только одной кривой безразличия (см. второе их свойство).
Если ставка оплаты, которая выше обозначена а, постоянна и нетрудовые доходы (non-wage income) отсутствуют, то графически зависимость суммарного дохода от часов досуга можно изобразить прямой из точки (T; 0) (если число отработанных часов t = T - t равно нулю, то, очевидно, равен нулю и доход) в точку (0; a T) (отработав T часов, агент получит доход a T). Эта прямая отражает так называемое бюджетное ограничение.
Так как ставка оплаты является альтернативной стоимостью часа досуга, то условием оптимума (максимума полезности) является касание прямой бюджетного ограничения кривой безразличия [17]. На рисунке 10 кривая безразличия gi касается прямой бюджетного ограничения в точке А.
То есть в рамках введенных предположений в равновесии для агента альтернативные издержки одного часа досуга равны ставке заработной платы (и наоборот) -тому дополнительному заработку, который мог бы быть получен при работе в течение этого часа.
Изменение ставки оплаты (угла наклона бюджетного ограничения) приводит к изменению точки оптимума - точки касания. Сдвиг точки касания влево соответствует уменьшению времени досуга (проявление эффекта замещения), сдвиг вправо - росту времени досуга (проявление эффекта дохода). То, в какую сторону сдвинется точка касания, в каждом конкретном случае зависит от предпочтений агента, отражаемых его функцией полезности, то есть от свойств кривых безразличия. Никаких как более общих выводов, так и конкретных закономерностей индивидуального поведения на рынке труда, установить в рамках рассматриваемой модели невозможно - действительно, у каждого человека в общем случае имеется своя система предпочтений и, используя очень общие предположения о свойствах функции полезности, введенные выше, невозможно предсказать его поведение в каждом конкретном случае .
Обсудим последнее утверждение более подробно. Ряд исследователей констатирует, что «теория не в состоянии показать (или предсказать) какой из эффектов - замещения или дохода - возоб-ладает при изменении ставки заработной платы» [17, С. 222]. Более того, ряд экспериментальных данных, полученных зарубежными авторами (см. ссылки в [8]), свидетельствует, что у мужчин (в большинстве исследований - американских) и эффект дохода, и эффект замещения невелики (в смысле эластичности) и, возможно, даже равны нулю. Женщины (опять же, в большинстве случаев - американские) более чувствительны к изменениям ставки заработной платы и у них эффект замещения превалирует над эффектом дохода. Однако это влияет, в основном, не на изменение продолжительности рабочего времени, а на принятие решения об участии в трудовой деятельности. Нет необходимости подчеркивать, что даже качественные выводы, сделанные на основании анализа статистических данных, полученных для американского рынка труда, скорее всего, неприменимы в российских условиях.
Таким образом, графический анализ предпочтений позволяет из условия оптимума по заданным функции полезности (точнее - семейству кривых безразличия) и ставке заработной платы (точнее - бюджетному ограничению) определить желательную продолжительность рабочего времени (точнее - времени досуга).
Перечисленные качественные свойства кривых безразличия и условие оптимума очевидны.
В то же время, они позволяют не только находить решение дилеммы «труд/досуг», но и исследовать (по крайней мере, на качественном уровне) дилемму «труд/досуг/работа дома» и другие эффекты, в том числе - влияние компенсационных выплат (социальные программы, компенсации временной потери трудоспособности и т.д.) на предложение труда [17 и др.].Перейдем к формальному анализу модели индивидуального поведения на рынке труда.
Если уравнение u(q, t) = g разрешимо относительно q, то можно получить уравнение кривой безразличия: q = v(g t). Обозначая
du(q, t) , du(q, t)
ut = — , Hq = — , получаем выражение для производ-
, uq =
dt q dq
(35) — = — u\'t / u\'q .
ной кривой безразличия: dq dt
Если a - постоянная ставка оплаты, то прямая бюджетного ограничения имеет вид:
q(t) = a t = a (T — t). *
Агент решает задачу выбора такого значения t времени досуга (и, соответственно, рабочего времени t = T — t), которое максимизировало бы его полезность:
t* е Arg max u(q(t), t),
te[0;T ]
где q(t) определяется выражением (36). Необходимое условие оптимальности - равенство нулю производной по t выражения u(q(t), t):
dq
uq — + ut = 0. q dt 1
Подставляя (36), запишем условие оптимума следующим образом:
(38) u\'t = a u\'q .
Воспользовавшись (35), получаем, что необходимое условие оптимальности графически можно интерпретировать как условие касания кривой безразличия прямой бюджетного ограничения (см. рисунок 10). Отметим, что (38) является условием оптимума при «внутренних» решениях задачи (37). Если максимум в выражении (37) достигается при t = T (граничное решение), то говорят, что имеет место «угловое решение» [17].
Содержательно, «угловое решение» соответствует оптимальности для рассматриваемого агента решению «не работать вообще», так как любой час своего досуга (в том числе и шестнадцатый) он ценит выше предлагаемой ставки оплаты. На рисунке 11 изображено «угловое решение», то есть при ставке резервной заработной платы а и величине «нетрудовых доходов» qT (доходов агента, не зависящих от количества отрабатываемых часов, например - рента, пособия и т.д.) кривая безразличия у касается прямой бюджетного ограничения в точке А (t = T - см.
рисунок 11) или правее. Возможно и другое «угловое решение» - «не отдыхать вообще».\r\nA q \r\n у \r\nаГ \' ^ A \r\n I k qr t\r\n t^J —>\r\n0 t=TРис. 11. «Угловоерешение»
Итак, рассмотрены условия оптимальности при использовании центром пропорциональных систем оплаты. Та же идеология
45
используется для исследования условий оптимальности при использовании центром произвольных (не только пропорциональных) систем оплаты.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение описанного метода определения оптимального времени досуга.
Пример 4. Пусть функция полезности имеет вид: u(q, t) = f q t, где f - некоторая положительная константа . Кривой безразличия g
g 1
в данном случае является гипербола: q(t) = — - . Из условия (38)
f t
получаем:
(39) t* = . iaf
Из выражения (39) следует, что имеют место и эффект дохода:
*
dt (a, g)
*
> 0.
a=Const
^ П ЛлЛЛ dt (a\' g)
< 0, и эффект замещения:
da
dg
g=Const
Существуют два способа определения оптимального времени досуга. Первый заключается в использовании условия (38): dq
— = — a. Проверяя, что оптимально внутреннее решение dt
(u(0) = u(T) = 0), получаем: t = T/2.
Второй способ заключается в «лобовом» решении задачи максимизации полезности (см. (37)):
t* = arg max u(q(t), t) = arg max { af t (T — t) } = T / 2.
te[0;T ] te[0;T ]
Интересно отметить, что при рассматриваемой функции полезности оптимальное решение t* равно восьми часам и не зависит от ставки оплаты. В то же время, максимальное значение полезности u = a f T2/ 4 возрастает с ростом ставки оплаты. •
Напомним, что до сих пор рассматривались модели индивидуального поведения на рынке труда в предположении, что за каж-
дый отработанный час агент получает одинаковую оплату (ставка оплаты считалась постоянной). Откажемся от этого предположения, то есть расширим класс допустимых систем стимулирования (любая система стимулирования может рассматриваться как пропорциональная с переменной ставкой оплаты).
Действием агента будем считать продолжительность рабочего времени t, которая однозначно определяет продолжительность свободного времени: t = T - t, то есть y = t, A = [0; T]. Предположим, что центр использует некоторую (не обязательно пропорциональную) систему стимулирования s(t). Определим функцию «оплаты свободного времени» <~ (t) = o(T - t). Отметим, что, если < ) - возрастающая (убывающая, выпуклая, вогнутая) функция, то <~ (t) - убывающая (соответственно, возрастающая, выпуклая, вогнутая) функция.
Введем зависимость дохода от свободного времени: q(t) = <~ (t) = o(T- t).
Определяя наиболее предпочтительное (с точки зрения значения своей функции полезности u(q, t)) значение продолжительности рабочего времени, агент решает следующую задачу:
u(q, t) = u(s(T- t), t) ® max .
te[0;T ]
Предполагая существование внутреннего решения t е (0; T), получаем необходимое условие оптимальности:
u | i i
= - <~ (t) = s (T-1) = s (t).
Uq
Левая часть выражения (41) с точностью до знака совпадает с производной кривой безразличия функции полезности, следовательно, в точке оптимума графики кривой безразличия полезности u( ) и функции стимулирования <( ) должны иметь общую каса-тельную. Содержательно это утверждение означает, что предельный доход должен быть равен предельному стимулированию
(
), то есть в точке оптимума альтернативная
dq(t *) _ ds (t) dt dt T_ стоимость единицы свободного времени по абсолютной величине
равна скорости изменения вознаграждения (см. также условия оптимальности для базовых систем стимулирования).
Второй важный (и достаточно очевидный) вывод, который следует из анализа выражения (41), заключается в том, что в точке оптимума t = T-1 производная функции стимулирования о(т) должна быть положительна (так как положительны обе производные функции полезности, фигурирующие в левой части (41); действительно, выше предполагалось, что полезность агента возрастает как с ростом дохода, так и с увеличением продолжительности свободного времени). Более того, так как «рабочим» оказывается участок функции стимулирования с положительной производной, то в рамках рассматриваемой модели для любой функции стимулирования найдется монотонная (неубывающая) функция стиму-лирования, побуждающая агента выбрать то же действие. Следовательно, справедливо следующее утверждение: при решении задач синтеза оптимальных функций стимулирования достаточно (без потери эффективности) ограничиться классом неубывающих функций стимулирования.
Это утверждение вполне согласовано со здравым смыслом и практическим опытом - большим значениям действий (отработанному времени и т.д.) должно соответствовать большее вознаграждение.
