4.1. Описание модели

Обозначим yt е At - действие i-го АЭ, i е I = {1, 2, ..., n} -

n

множество АЭ, y = (y1t y2, ..., yn) е A\' = П Ai - вектор действий

i=1

АЭ, y-i = (yi, y2, ..., y-i, y+i, ..., yn) е A_t = П Aj - обстановка игры

j *i

для i-го АЭ.

Пусть результат деятельности z е A0 = Q(A\') ОС, состоящей из n АЭ, является функцией (называемой функцией агрегирования) их действий: z = Q(y). Интересы и предпочтения участников ОС - центра и АЭ - выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра является функционалом Ф(о, z) и представляет собой разность между его доходом H(z) и суммарным вознаграждением

n

t>(z), выплачиваемым АЭ: u(z) = ? si (z), где s(z) - стимулирова-

i=1

ние i-го АЭ, s(z) = (s1(z), s2(z), ..., sn(z)), то есть

Ф(а(), z) = H(z) - X s i (z).

i=1

Целевая функция i-го АЭ для простоты считается сепарабель- ной (все результаты обобщаются на случай несепарабельных целевых функций по аналогии с тем, как это делается в [41-43]) является функционалом fi(si, yi) и представляет собой разность между стимулированием, получаемым им от центра, и затратами ci(yi, ri), где ri е Qi = [di; Д] с - тип АЭ, отражающий эффективность его деятельности, то есть:

fi(Oi(-), yi) = s(z) - фг, ri), i е I.

Отметим, что индивидуальное вознаграждение i-го АЭ в общем случае явным или неявным образом зависит от действий всех АЭ (случай сильно связанных АЭ [36, 43]).

Примем следующий порядок функционирования ОС.

Рассмотрим случай, когда центр наблюдает только результат деятельности ОС, от которого зависит его доход, но не знает и не может восстановить индивидуальных действий АЭ, то есть, имеет место агрегирование информации - центр имеет не всю информацию о действиях АЭ, а ему известен лишь некоторый их агрегат.

Обозначим r = (r1, r2, .., rn) и введем относительно параметров ОС следующие предположения, которые, если не оговорено особо, будем считать выполненными в ходе всего последующего изложения материала настоящего раздела:

А.1. "i е I Ai - отрезок с левым концом в нуле.

А.2. " i е I 1) функция ci( ) непрерывна по всем переменным; 2) " yi е Ai, ri е Qi ci(yi, ri) неотрицательна, не убывает по yi и не возрастает по ri, i е I; 3) " ri е Qi ci(0, ri) = 0, i е I.

А.3. Функции стимулирования принимают неотрицательные значения.

А.4. Функция дохода центра непрерывна и достигает максимума при ненулевом результате деятельности ОС.

А.5. Q: A\' ® A0 с Жт - однозначное непрерывное отображение, где 1 ?т < п.

Обозначим Р(о) - множество реализуемых (выбираемых АЭ при данной системе стимулирования) действий. Минимальными затратами центра на стимулирование по реализации действий АЭ у\' е A\' будем называть минимальное значение суммарных выплат элементам, при которых данный вектор действий является равновесием Нэша в игре АЭ, то есть решение следующей задачи:

Z(Q(У\')) ® min , где X(y\') = (о(-) | у\' е Р(о)}. Как и в

ш s(\')ex(y,)

одноэлементной ОС [10, 38], гарантированной эффективностью (далее просто "эффективностью") стимулирования является минимальное значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры (всюду, где встречаются минимумы и максимумы, будем предполагать, что они достигаются):

К(о()) = min Ф(о(), Q(y)).

ушР(о (•))

Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заклю-

*

чается в поиске допустимой системы стимулирования о , имеющей максимальную эффективность:

о* = arg max К(о()).

о (•)

В [41, 43] доказано, что в частном случае, когда действия АЭ наблюдаются центром, и типы АЭ также достоверно известны

п

центру, оптимальной (точнее - 8-оптимальной, где 8 = ? 8, )

г=1

является квазикомпенсаторная система стимулирования о K , зависящая от наблюдаемых действий АЭ:

(5) о к(у*,r) + 8,, у, = у* ,

(5) о,K =< * , г е I,

{ 0 У, * У,

где 8i - сколь угодно малые строго положительные константы, а

*

оптимальное действие у , реализуемое системой стимулирования

[38, 74], является решением следующей задачи оптимального согласованного планирования [10, 38]:

y>) = arg max {Н (y) - ? cl (yt, ri) },

где H (•) - функция дохода центра, зависящая от наблюдаемых

действий АЭ.

о(-) и s (•) исследовалась в [2, 3]. В частности, можно считать, что

Н (y) = H(Q(y)). В ходе дальнейшего изложения мы будем предполагать, что функция дохода центра Н() и функция стимулирования s( ) зависят от агрегированного результата деятельности z е A0.

n

Обозначим ВД = Н^(у*(г))) - ? ct (y*, r ).

i=1

Определим множество векторов действий АЭ, приводящих к заданному результату деятельности ОС:

Y(z) = {y е A\' | Q(y) = z} с A\