4.2. Обобщенные решения задачи стимулирования
В соответствии с принципом гарантированной компенсации затрат [30, 38, 39, 43] центр вынужден компенсировать в условиях
неопределенности максимальные затраты, то есть, рассчитывать на наихудшие значения типов АЭ.
Обозначим J (z, W) минимальные затраты на стимулирование по реализации агрегата z е A0, которые зависят от информации об области W возможных значений типов:J*(z, W) = min V d).
yeY(z) г=1
Аналогичным образом можно определить максимальные затраты
n
на стимулирование J*(z, W) = max V c.ty., d).
yeY(z) i=1
Знание величины (7) позволяет определить оптимальные в условиях существующей неопределенности относительно типов АЭ значение агрегатов
x*(W) = arg max {H(z) - J*(z, W)},
z e A0
x*(W) = arg max {H(z) - J*(z, W)}.
z A0
Помимо решений (5), (8) и (5), (9), будем рассматривать два типовых решения, в соответствии с которыми всем АЭ либо назначаются одинаковые планы, либо коллективу АЭ выплачивается общее стимулирование sL(z) = l z, пропорциональное величине z е A0. Будем называть соответствующие управления однородным и линейным. Для анализа этих решений введем следующее предположение об однородности АЭ.
А.6. Ai = A, фь r) = c(y„ r) i е I; Ao = UQ(y, y,..., y).
y A
Определим оптимальное однородное управление xu(r) = Q(yu(r)), где
yu(r) = arg max {H(Q(y, y, ..., y)) - V c(y, r.)}.
yeA i=i При использовании центром линейного управления со ставкой оплаты l центр должен гарантированно компенсировать АЭ затраты: l(r) z > J (z, r) и обеспечить согласованность стимулирования, то есть учитывать, что АЭ выберут действия из множества Arg max {l(r) z - J*(z, r)}. Предположим, что J*(z, r) - выпуклая
z A0
по z е A0 функция (этот предположение выполнено, в частности,
25
если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа) и обозначим Их, r) - решение следующего уравнения:
_ J*^)
dz
Обозначим JL(x, r) = И(х, r) x и определим оптимальное линейное управление:
XL(r) = arg max {H(z) - J(x, r)}.
zeA0
Исследуем устойчивость и адекватность четырех управлений - х (r), x*(r), однородного управления xu(r) и линейного управления xL(r).
Для этого вычислим для них приведенные в третьем разделе характеристики.Области абсолютной устойчивости при e = 0 имеют вид:
B(0, x*(r)) = {teQ | tt>ru iel, x*(r) e Arg max {H(z) - J*(z, t)}},
ze A0
nn
B(0, x*(r)) = {teQ | min ? фг, ti) > max ? ф„ r)
yeY(x.(r)) i=1 yeY(x.(r)) ~
x*(r) e Arg max {H(z) - J*(z, t)}},
ze A0
B(0, xu(r)) = {t e Q | min {t} > min {r},
iel iel
xu(r) e Arg max {H(z) - J*(z, t)}},
ze A0
B(0, xL(r)) = {t e Q | JL(xL(r), r) > JWr), t), *
xu(r) e Arg max {H(z) - J*(z, t)}}.
ze A0
Очевидно, что для решений (8) и (9) области абсолютной устойчивости совпадают с Q, так как это - гарантирующие стратегии центра. Обозначив K*(Q) = ф s х. )(•), x*(Q)),
K*(Q) = ф sXT(W)(•), x*(Q)), можно выписать следующие сравнительные оценки эффективностей:
"Q K*(Q) >K*(Q); "r e Q K*(r) >K*(Q), K*(r) >K*(Q). Отметим, что области абсолютной устойчивости определялись для e = 0. В общем случае соответствующие выражения имеют менее конструктивный вид (см. выражения (16) и (17)). Утверждение 1. V r e Q
а) B(0, x*(r)) с B(0, x*(r)),
б) B(0, x*(r)) с B(0, xu(r)),
B(e, xu(r)) = {t e W | Ju(x, r) > J*(x, t),
H(xu(r)) - Z c(yu(r), ti) >K*(t) - e}, i=1
B(e, xL(r)) = {t e W | A(xL(r), r) > J*(xL(r), t),
H(xL(r)) - J(xL(r), t) > K*(t) - e}.
Справедливость пунктов а) и б) утверждения 1 следует из сравнения множеств (13)-(15). Справедливость выражений (16) и (17) следует из определения области устойчивости управления (см. третий раздел) и того, что рассматриваемое управление должно побуждать АЭ выбирать требуемые для центра действия.
Отметим, что в соответствии с определением области устойчивости в выражениях (16), (17) эффективность типовых решений (которые, как правило, не оптимальны даже при точном совпадении модели и реальной системы) сравнивается с эффективностью абсолютно оптимального компенсаторного управления, что обуславливает малую область устойчивости.
Если интерпретировать область устойчивости как множество реальных систем, в которых оптимальное в модели типовое решение e-оптимально в том же классе типовых решений, то получим более широкие области. Рассмотрим иллюстративный пример.Пример 1. Пусть имеются два АЭ с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа, а доход центра пропорционален агрегированному результату деятельности z = Z yi , то есть:
iel
F(z) = z - J(z), Ci(yh ri) = (У,)2 / 2 r, i = 1, 2. Вычисляем: J (z, r) = z2 / 2 (r; + r2), J*(z, r) = z2 / 2 min {r;; r2}, Ju(z, r) = z2 (ri + r2) / 8 ri r2, x*(r) = (ri + r2), x*(r) = min {ri; r2}, xu(r) = 4 ri r2 / (ri + r2), A(x, r) = x / (ri + r2), xL(r) = (ri + r2) / 2.
Области абсолютной устойчивости (12)-(15) примут соответственно вид:
B(0, x*(r)) = {teW | ti + t2 = ri + r2}, B(0, x*(r)) = Д B(0, xu(r)) = {teW | 4 ti t2 / (ti + t2) = ri + r2}, B(0, xL(r)) = {teW | 2 (ti + t2) = ri + r2},
B(e, xu(r)) = {teW | ti + t2 > 4 ri r2 / (ri +
4 ri r2 / (ri + r2) [2 - ri r2 (ti + t2) / (ri + r2) ti t2] > ti + t2 - 2e}. B(e, xdr)) = {teW | ti + t2 > (ri + r2) /2,
(ri + r2) [2 - (ri + r2) / (ti + t2)] > 2 (ti + t2) - 4e}
Оценим эффективности управлений: K (r) = (ri + r2) / 2, K*(r) = min {Г;, r2} / 2, Ku(r) = 2 Г; r2 / (Г; + r2). Видно, что "r e W K*(r) > K*(r), K*(r) > Ku(r).
Области адекватности в рассматриваемой модели можно вводить в упрощенном виде - как множество моделей, в которых эффективность типового решения отличается от эффективности оптимального решения не более, чем на заданную величину: Me(xu) = {t e W | K*(t) - Ku(t) ? e} =
= {t e W | (ti - t2)2/2 (ti + t2) ?e}.
Очевидно, что в ОС, в которой все АЭ одинаковы, однородные решения оптимальны. •