Как разброс результатов затрагивает геометрический рост
В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры. Рассмотрим две системы: систему А, которая выигрывает 10% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28 к 1, и систему В, которая выигрывает 70% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9 к 1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для А равно 1,9, а для В равно 0,4. Поэтому мы можем сказать, что для каждой единицы ставки система А выиграет, в среднем, в 4,75 раз больше, чем система В. Но давайте рассмотрим торговлю фиксированной долей. Мы можем найти оптимальные 1 разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное Ї = 0,0678 для А и 0,4 для В. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных Ї составят:
А= 1,044176755 В= 1,0857629
Как видите, система В, несмотря на то что ее математическое ожидание примерно в четыре раза меньше, чем системы А, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным 1}, чем система А (которая приносит 4,4176755% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным 1).
Система % Выигрышей Выигрыш: МО f Среднее
Проигрыш геометрическое
А 10 28: 1 1,9 0,0678 1,0441768
В 70 1,9:1 0,4 0,4 1,0857629
Проигрыш 50% по балансу потребует 100% прибыли для возмещения; 1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, то есть для возмещения 50% проигрыша для системы А потребуется более 16 сделок.
Сравним с системой В, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, то есть для системы В потребуется 9 сделок для возмещения 50% проигрыша.В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система В имеет процент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой В функционирует лучше А, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста. Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:
где R = процентная ставка за период (например, 7% = 0,07);
N = количество периодов.
Так как 1 + R то же, что и HPR, большинство ошибочно полагает, что функция роста1 TWR равна:
(1.18) TWR = HPR ^
Эта функция верна только тогда, когда прибыль (то есть HPR) постоянна, чего в торговле не бывает. Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде,
Многие ошибочно используют среднее арифметическое ЫРЯ в уравнении ЫРЯ Л N. Как здесь показано, это не даст истинное TWR после N игр. Вы должны использовать геометрическое, а не арифметическое среднее ЫРЯ л N. Это даст истинное TWR. Если стандартное отклонение ЫРЯ равно 0, тогда арифметическое среднее ЫРЯ и геометрическое среднее ЫРЯ эквивалентны, и не имеет значения, какое из них вы используете.
где ИРЯ не является постоянной) — это произведение всех ИРЯ. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное Ї составляет 1 контракт на каждую 21 000 долларов на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долларов, а другая выигрыш 210 долларов. В этом примере ИРЯ равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWЯ равно: TWЯ = 1,01 * 0,99 = 0,9999
Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (ЕОМ):
(1.16а) ЕвМ = (АНРЯ Л 2 - ББ Л 2) Л (1/2), или
(1.166) Евм = (АНРЯ Л 2 - V) Л (1/2)
Теперь возведем уравнение (1.16а) или (1.166) в степень К, чтобы рассчитать TWR Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR
(1.19а) Оценочное Т\\УЯ = ((АНРЯ Л 2 - ББ Л 2) Л (1/2)) л N.
или
(1.196) Оценочное Т\\?11 = ((АНРЯ л 2 - V) А (1/2)) л К,
где N = количество периодов;
АНPR = среднее арифметическое HPR;
8Э = стандартное отклонение значений HPR;
V = дисперсия значений HPR.
Оба уравнения (1.19) эквивалентны.
Полученная информация говорит, что найден компромисс между увеличением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и становится ясна причина, по которой система (1,9:1 ; 70%) работает лучше, чем система (28:1; 10%)!
Нашей целью является максимизация коэффициента этой функции, т.е. мак-симизация следующей величины: (1.166) ЕвМ = (АНРЯ Л 2 - V) Л (1/2)
Показатель оценочного TWR, т.е. К, сам о себе позаботится. Увеличение N не является проблемой, так как мы можем расширить количество рынков или торговать в более краткосрочных типах систем.
Расчет дисперсии и стандартного отклонения (V и 8Э соответственно) может оказаться трудным для большинства людей, не знакомых со статистикой. Вместо этих величин многие используют среднее абсолютное отклонение, которое мы назовем М. Чтобы найти М, надо просто взять среднее абсолютное значение разности самой величины и ее среднего значения.
При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределением прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение примерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно составляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать: (1.21) М = 0,8 * ББ
и
Обозначим среднее арифметическое ЫРЯ переменной А, а среднее геометрическое ЫРЯ переменной О. Используя уравнение (1.166), мы можем выразить оценочное среднее геометрическое следующим образом:
Из этого уравнения получим:
Теперь вместо дисперсии подставим стандартное отклонение [как в (1.16а)]:
Из этого уравнения мы можем выделить каждую переменную, а также выделить ноль, чтобы получить фундаментальные соотношения между средним арифметическим, средним геометрическим и разбросом, выраженным здесь как 8Э Л 2:
В этих уравнениях значение 8ЭЛ2 можно записать как V или как (1,25 * М) Л2.
Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимосвязи. Отметьте, что последнее из уравнений — это теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза это А, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон, О. При увеличении О любое повышение Э («катет» дисперсии, равный 8Э или VЛ(1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению А. Когда Э равно нулю, тогда А равно О, этим самым соответствуя ложно толкуемой функции роста TWR = (1 + Я)л N. Действительно, когда Э равно нулю, тогда А равно О в соответствии с уравнением (1.26).Мы можем сказать, что повышение АЛ 2 оказывает на О то же воздействие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) л 2.
Чтобы понять это, рассмотрим изменение А от 1,1 до 1,2:\r\nА 8Б М О АЛ2 8Б л 2 = (1, 25 * М)Л 2\r\n1,1 0,1 0,08 1,095445 1,21 0,01\r\n1,2 0,4899 0,39192 1,095445 1.44 0.24\r\n 0,23 = 0,23\r\n
Когда Л=1,1,То8Э=0,1. Когда А = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное О, 8Э должно быть равно 0,4899, согласно уравнению (1.27). Так как М = = 0,8 * 8Э,ТоМ=0,3919. Если мы возведем в квадрат значения А и 8Э и рассчитаем разность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29). Рассмотрим следующую таблицу: \r\nА 8Б М О АЛ2 8Б л 2 = (1,25 * М) Л 2\r\n1,1 0,25 0,2 1,071214 1, 21 0,0625\r\n1,2 0,5408 0,4327 1,071214 1, 44 0.2925\r\n0, 23 = 0,23
Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разброса (8Э или М), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же О. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при нулевой дисперсии, О равно А. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой основе, должен максимизировать О, но не обязательно А. При максимизации О надо понимать, что стандартное отклонение 8Э затрагивает О в той же степени, что и А в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стандартное отклонение (8Э) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметического среднего ЫРЯ (т.е. А), и наоборот!