Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной н положительной функции /(.г) на отрезке [с, Ь], отрезком [а, Ь и вертикальными прямыми .г = а и х=Ь (рис.

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями / (.г) и g (л:) соотвественно, непрерывными на отрезке |а. Ь|, то площадь 5 криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками / (л:) и £фс):

2. Объем тела сращения

Рассмотрим тело, которое образуется лрн вращении вокруг оси О.т криволинейной трапеции nq^aннчeннoн сверху непрерывной и положительной на отрезке [«, Ь функцией /(.г) (р*н:. 7А). Объем этого тела вращения определяется формулой

Рели тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси 0у, то, выражая д~ через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

где с, (1 — область изменения функции у=/(х).

РешЛние. Выражаем х через у. х - 1п у, промежуток интегрирования 11, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.5) равен разногти объемов соответствен]го цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченном сверху кривой х = 1п у. Согласно формуле (7.30), полу чаем;

7.2.7.