Несобственные интегралы

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция ограничена на конечном отрезке интегрирования. Данное ранее определение определенного интеграла не имеет смысла при невыполнении хотя бы одного из этих условий.

Определение 4. Пусть функция /{д) определена ira промежутке а, +м) и интегрируема на любом отрезке а, ffl, R > 0, так что интеграл

имеет смысл. Предел этого интеграла при К —» оо называется несобственным интегралом г бесконечным пределом интегрирования (или несобственным интегралом первого рода):

В случае если жбт предел конечен, говорят, что несобственный интеграл (7.31) сгодится, а функцию /(г) называют иишгрируемои на бег Конечном промежутке а, к.); если предел в (7.31) бесконечен ил Л не существует, то говорят, что нс собственный интеграл расходятся. Аналогичным образом вводите я понятие несобственною интеграла по промежутку (-со, Ь:

Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно опредечить как сумму несобственных интегралов (7.31) и (7.32)

где с — любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода: это площадь бесконечной области (рис 7.6), ограниченной сверху неотрицательной функций /О ), снизу — осью Ог, слева — прямой .к-а.

Рис. 7.6. Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода

т. е. конечного предела не существует и несобсгвенный интеграл расходится.

2. П ри и * 1 для любого R > 0 получаем:

Следовательно, данный интеграл сходится при а > 1 и расходится при а < 1

В приведенных ранее примерах сначала с помощью первообразной вычислялся интеграл но конечному промежутку, а затем осущесть ля лея переход к пределу. Между гем, если для функции / (х) существует первообразная Р(л) на всем промежутке интегрирования [«. можно непосредственно применить формулу Ньютона—Лейбница ври Я -» го, т. е. использовать ее в записи:

			Упражнения
		Вычистить интегралы методом интегрирования но частям.

			Вычислить определенные иншралы.
	Вычислить несобственные интегралы в случае их сходимости. 7.78. Hain и объем тела, образованного вращением вокруг оси Йяг дуг н

Решить задачи с экономическим содержанием.

7.79. Найти стоимость перевозки Л/ тони груза по железной дороге на расстояние і км при ус повни, что тариф у перевозки одной тонны убывает на а руб. на каждом последующем километре.

7.80. Мощность у потребляемой городом электроэнергии выражается формулой

где I — текущее время суток. Найти суточное потребление электрг, энергии при 0=15 000 кВт. Ь = 12 000 кВт.

8.1.