7.2.5. Основные правила интегрирования

1. Замена переменной и определенном интеграле

Формула (7.25) папы пап ем формулой зсшены переменной, и пн под- станов ни, в он реле нпкш интеграле.

ЗйМеТПМ. ЧТО При 1ШЧ11е.Че11Ш! ОПрелеЛеИНОГО ИПТПраЛа С ПОМОЩЬ|0 замены переменной не1 нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, гак как определенный интеграл представляет собой число, которое, согласно формуле (7.25), равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и выполнить необходимые преобразования полынте гральщ>и функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном нн геграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.4. иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

140 Глава? Интефалы

Полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной г-1£ г имеет разрыв при х= тс/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.4.

2. Интегрирование но частям в определенном интеграле Теорема 7.5. Пусть функции и (.г) и и (т) имеют непрерывные производные на отрезке [а, і]; тогда справедлива формула

7.2.6.