Минимизация риска.

4 =\\ + %,i = l2,...,ti-l, с4

а не диагональные элементы равны единице.

х° = D~l-e,x°n= \\-ет-х°. (25)

Отметим, что структуру портфеля с наименьшим риском при наличии корреляции между доходами различных видов ценных бумаг можно определить. Однако формулы в данном случае громоздки, в силу чего они здесь не приводятся. В частном случае, когда п = 2 и доходы двух бумаг зависимы друг от друга, структура оптимального портфеля такова:

1-І2-ТА/2 о _ і „о л _ о?

?== ,х2 - 1 - Х{ , Uu2 - —2

1 + А/2-2-Г12 • JDU2 Сі

Модель Марковица диверсификации портфеля ценных бумаг. Лауреат нобелевской премии по экономике Г. Марковий предложил следующий подход к формированию оптимального портфеля ценных бумаг. Можно определить доли х ценной бумаги і в портфеле так, чтобы этот портфель обеспечивал заданный уровень среднего дохода при минимизации его риска, т.е.

xTd = Aq,xt - V ¦ х > min, (27)

где хТ = U[ xn),d\' = Ц, ...,dn), Аз - заданный уровень

среднего дохода, V = (V,-) - ковариационная матрица с элементами Vjj - ?{0;, - с?/)(?у - d/)}. Решение х° задачи (27) имеет вид:

гв _ V-1. Ap-{e ¦ MX2-d-M{) +d- мп-е- M2 Ml2 -Mx-M2

где

Af, = eT • K"1 ¦ e, M2 = dT ¦ V~l ¦ d,

Mx2 = Пример 7.3.1. Необходимо сформировать портфель ценных бумаг, состоящий из бумаг двух видов. Доходности этих бумаг (в тысячах условных единиц) являются дискретными случайными величинами ^ и со следующим совместным распределением вероятностей:\r\n 250 200 150\r\n200 0,15 0,08 0,07\r\n180 0,02 0,2 0,07\r\n160 0,12 0,1 0,19\r\n

Определите: а) среднюю доходность и риск портфеля при условии, что бумаг первого типа в портфеле 30%, а второго типа - 70%; б) структуру портфеля с минимальным риском и его среднюю доходность при такой структуре; в) структуру портфеля, гарантирующего среднюю доходность в 180 тысяч при минимальном риске.

> Из совместного распределения случайных величин ^ и следует, что их маргинальные распределения таковы:\r\n 200 180 160 250 200 150\r\nР 0,3 0,29 0,41 Р 0,29 0,38 0,33\r\n7.1.

Отсюда легко получаем, что dx - 177,8; D{= 279,16; о, = 16,70808188; d2 = 198; D{^2} = 1546; а2 = = 39,31920065.

Вычислим теперь коэффициент корреляции г12 между величинами ^ и . Из совместного рапределения случайных величин ^ и получаем, что • } =35350.

¦ 35350 —177,8 -198 <-> nni сол7с:п 12 16,70808188-39,3192065 ^тъбч/ю.

а) В силу формулы (23), средняя доходность портфеля А = 0,3 177,8 + 0,7 • 198 = 191,94 тысячи. Риск такого портфеля, с учетом формулы (24), следующий:

D{?) = 0,32 • 279,16 + 0,72 • 1546 +

+ 2 • 0,3 • 0,7 • 0,221630759 • 16,70808188 - 39,3192065 =

ст2 = 7843,8163998 = 29,04851803.

б) Используя формулу (26), получим оптимальные веса бумаг первого и второго типов:

1-0,221630759 -Ш^

х? — Чо™ = 0,913003996,

1 + т-2-0,221630759-

х2 = 0,086996004. Средний доход такого портфеля

Л° = 0,91303996 -177,8 + 0,08696004 -198-179,55659 тысяч. А риск равен

D{?) = 0,9 1 30 0 3 9962 • 279,16 + О,0869960042 ¦ 1546 + + 2 • 0,913003996 • 0,086996004-0,221630759 • 16,70808188 х х39,3192065 = 266,9428586,

о = V266,9428586 = 16,33838605.

в) Ковариация между доходами от бумаг первого и второго типов равна:

Щі - - d2)) = Щ, ¦ & ~drd2 =

= 35350-177,8-198 - 145,6.

Матрица ковариаций

„ (279,16 145,6"\'| \\ 145,6 1546

Матрица обратная к ней

0,003769493842 -0,0003550053709 А

V\'

-0,0003550053709 0,0006806545285 )

Для вычисления оптимальной структуры портфеля, гарантирующего средний доход А0 = 180 тысяч, воспользуемся формулой (28). Непосредственные вычисления показывают, что Mi = 120,853189, М12 = 0,671574582. Подставляя теперь все данные в формулу (28), получим: (х°)т = = (0,89366914; 0,106747699), т.е. = 0,893669614 = 89,37%; х2 = 0,106747699 = 10,67%. Однако сумма х? + х2° не равна 100% (есть разница в 0,04%). Это объясняется ошибками округления при расчетах. Средний доход такого портфеля

А = 0,893669514 • 177,8 + 0,106747699 • 198 = = 180,0305 = 180 тысяч.

Этого и следовало ожидать. ¦

Пример 7.3.2. Экспертным путем установлено, что отно-шения дисперсий доходов четырех ценных бумаг, составляющих портфель, следующие: Dхц = 1,8, = 2, D3/4 = 0,7. Доходы ценных бумаг не коррелируют между собой. Определите структуру такого портфеля с минимальным риском.

> По формуле (25) получим

\'""2,8 ] 1 У\' (1} (0,159453304^

- 0,143507973 0,41002278

з

13 1 1

V 1 1 V) W х4° = 1-(0,159453304+ 0,143507973+ 0,41002278) = = 0,287015943.

Итак, в портфель следует включить 15,95% бумаг первого типа, 14,35% - второго, 41% - третьего и 28,7% - четвертого типа. ¦