Метод критической точки.
возникает возможность определить то его максимальное значение, при котором второй вариант контракта будет конкурентно способен с первым. Например, если ставка г2 не определена, в этом случае есть возможность определить ставку г2, при которой Л| = А2, где Л, и Л2 - современные величины потоков платежей по первому и второму вариантам контрактов, вычисленные по ставке сравнения q. Теперь если г2 < i2 , то второй вариант контракта будет более "привлекателен" для покупателя, чем первый. Аналогично, можно определить предельное значение цены Р2 , если она не задана.
Найдем предельные значения i2 и Р2 для самой простой ситуации, когда разовые расчеты по контрактам предусмотрены в конце срока сделки без авансовых платежей. В этом случае равенство А{ = Л2 принимает вид:
РГ(\\±±)П1=Р2 1±АТ2 (20)
1 і 1 + q 1 1 + q I
Разрешая (20) относительно t2, находим:
$ - (L I g) ¦
-1. (21)
\'я П+/, -" P2\'[l + q
Если (20) разрешить относительно P2, то
P? = Pr
g+\'i )"¦ (22)
(1 + ї2)Л2 • (1 + qp-n* \'
В частном случае, когда = п2 = п, можно обойтись и без ставки сравнения q. В этом случае
(23)
рО , рг;1±і V (24)
V + \'2 У
Перейдем к рассмотрению более сложных вариантов коммерческих контрактов, в которых имеется полный набор параметров финансовой операции.
Пусть, например, пара-метры базового варианта следующие: Q, - аванс, выплачиваемый в начале операции, Р{ - цена товара при разовой поставке в момент затем предоставляется льготный период на протяжении L{ лет. После окончания льготного периода долг погашается на протяжении пх лет равными платежами kx раз в году (п1 ¦ kx - целое число) и на остаток долга начисляются сложные проценты по ставке годовых. Параметры сравниваемого контракта такие же, только индекс 1 нужно заменить на индекс 2.
Вычислим современные величины потоков платежей для случая, когда проценты за льготный период выплачиваются в конце этого периода по сложной ставке процентов.
Приведем расчеты для базового варианта контракта. Как уже упоминалось выше, на момент tv поставки товара сумма долга D{ может быть рассчитана тремя способами: Ц = Р\\- Q\\, D\\ = Р\\ - Q\\ • (1 + t\\ • i\\), А = C?i • (1 + ("іУ1, в зависимости от того, начисляются ли проценты (и какие) за время tx на авансовый платеж Qx. Процентные платежи /,, выплаченные в конце льготного периода, составят величину /j = Ц • ((1 + ix)Ll - 1). Годовые платежи равных срочных уплат Yx = Ц / a^j. Тогда
Л, = Q + (/, + Kj • a Из равенства современных величин Ах и Л2 находим предельные значения Р2°, г2 одного из не заданных параметров сравниваемого контракта. Отметим, что равенство Л; = Л2 линейно зависит от цены Р2 и легко разрешимо относительно этого параметра. Ставка процентов /2, в указанное равенство, входит не линейно и ее значение І® можно найти лишь, используя численные методы. Если на протяжении льготного периода L{ проценты выплачиваются т1 раз в году (L, ¦ т1 - целое число), то в формуле (25) слагаемое 1{ ¦ (1 + нужно поменять на слагаемое D, ¦ ц ¦ • (1 + qrh. . (26) Ясно, что рассмотренные выше схемы платежей далеко не полностью исчерпывают возможные способы погашения задолженностей в коммерческих контрактах. Пример 6.7.1. Второй продавец тот же товар продает за 205 тысяч в рассрочку под 9,9% годовых на следующих условиях. Выплачивается аванс в 11 тысяч в самом начале сделки. На аванс начисляются простые проценты. Товар поставляется через 3 квартала. Затем следует льготный период в один год и квартал, в течение которого проценты выплачиваются поквартально. После окончания льготного периода долг погашается в течение 8 лет помесячными платежами. Какого продавца выберет покупатель, если он будет ориентироваться на ставку сравнения в 10% годовых? > Современную величину Ах потока платежей по первому варианту контракта подсчитаем по формуле (14): ( аЩ \\ Л =10 +(200-10,99)- 0,099+ ^йр I,Г1 = 198,31272. ^ a7:J,9 j Современную величину А2 потока платежей по второму варианту контракта вычислим по формуле (15): А> = 11 + (200 — 11 - (I + 0,75-0,098)) х > 0,098 • a$Q + • 1, Г1\'25 1, Г0-75 = 181,71382. 08 -ч п } Следовательно, второй продавец товара предпочтительнее для покупателя, несмотря на то, что цена его товара на 5 тысяч дороже, чем у первого продавца. ¦ Пример 6.7.2. Покупатель планирует купить в рассрочку партию товара у одного из двух поставщиков. Первый продавец предлагает следующие условия кредитования. Кредит предоставляется под 8,6 годовых, сложных процентов. Товар поставляется тремя партиями, стоимость и время поставки которых следующие: М, = 10 тысяч через месяца; М2 - 15 тысяч через 6 месяцев; М3 = 18 тысяч через 9 месяцев. Необходимо выплатить 3 авансовых платежа: в 6 тысяч через 2 месяца; в 5 тысяч через 4 месяца; в тысячи через 8 месяцев. Условия продажи вторым поставщиком таковы. Ставка за кредит - 8,5 сложных, годовых процентов. Товар предлагается поставить двумя партиями на сумму по 22 тысячи каждая через полгода и год. Аванс в сумме 16 тысяч должен быть выплачен через 4 месяца. После поставки последней партии товара предоставляется льготный период на 3 месяца. В течение этого периода помесячно выплачиваются проценты по сложной ставке процентов. После льготного периода долг должен быть погашен за 6 лет равными срочными уплатами в конце каждого квартала. На остаток долга начисляются сложные проценты. Для ставки сравнения в 9% годовых выберите наиболее экономичный вариант покупки товара. > Вначале вычислим современную величину А{ потока платежей по первому варианту коммерческого контракта. Для этого, по формуле (16), вычислим сумму долга на конец девятого месяца: 0 = 10-1,0860,5 + 15-1,086а25 + 18- 6 1,086(О\'75"1/6) - -5 1,086<а75-1/3) - 4-1, 086(0\'75~^з) = 28,23545. Теперь, используя формулу(17), вычислим Л.: Л, = 6 • 1, or1\'6 + 5-1,09"1/3 + 41,09"2/3 + ( а{2) } + 28,23545- 1,08бР5 - 1+ 1,09і\'25 = 40,73012. ак \\ л5;&,6 ) Для второго варианта коммерческого контракта, соответственно, имеем: ?> = 22 1,085а5 + 22 -16 • 1,085% = 28,02165 тысяч. Для вычисления величины А2 используем формулу (18): А2 = 22-1,09-0,5 + 22-1,09"1 + ( aw } + 28,02165 • 0,085 • atfgg • 1, ОЭ"1 + • 1,09-1\'25 j - а6;8,5 = 66,6238 Итак, первый вариант коммерческого контракта значительно выгоднее для покупателя чем второй. ¦ Пример 6.7.3. Товар можно купить у двух поставщиков в рассрочку на одинаковый срок. > Согласно формуле (19) имеем: Z-лгІ5 — Lnl4,5 , r0r7Q „„„„ "о = , , плс—, , л0г = 3,52573 года. Если срок кредита у обоих поставщиков равен трем годам, то так как 3 < п0, то покупатель предпочтет второго поставщика. ¦ Пример 6.7.4. Сравним два варианта внешнеторгового соглашения: Р, = 100,5 тысяч, — 9,8%, п{ = 5 лет и Р2= 106 тысяч, /2 = 9%, п2 - 7 лет. В обоих вариантах кредиты, вместе с начисленными на них сложными процен- .ми, погашаются в конце срока кредитования. Для ставки ¦равнения в 10% годовых выберите лучший вариант креди- т -вания для покупателя. При какой ставке сравнения q0 оба арианта кредитования будут эквивалентны? Вычислим дисконтированные значения наращенных су им: А, = 100,5 • 1,0985 • 1, Г5 = 99,58968 тысяч, А2 = 106-1,097 • 1,Г7 = 99,43575 тысяч. і \'."едовательно, предпочтительнее второй вариант внешнеторгового соглашения для ставки сравнения в 10% годовых. Для того, чтобы определить ставку q0 , будем исходить из ра- снства современных величин Л[ = Л2: 100,5-1,0985-(1 + = 106 1,097 (1 + <7)-7. Из этого равенства следует, что і у 2 ,.,„ - Ю0 1,097 -1 = 0,09915 = 9,915%. 100,5 • 1,0985 . Значение qQ = 9,915% близко ставке в 10%, по которой эоизводилось сравнение двух вариантов. Этого и следова- 0 ожидать, так как значения Л, и А2 близки друг к другу. ¦ Пример 6.7.5. Первый продавец реализует говар на сумму 1000 в рассрочку на 3 года под 7,6% годовых. Другой продавец тот же товар может продать за 11000 в рассрочку на 5 лет. В обоих случаях кредиты погашаются разовыми платежами в конце их сроков. Не выше какой предельной ставки i2 должна быть цена кредита у второго продавца, тгобы его товар был более конкурентно способен, чем у первого? Вычисления проведите с точностью до 0,001 % для ставки сравнения в 8% годовых. Предельную ставку для г2 найдем из равенства современных величин наращенных сумм платежей: 10000 ¦ 1,07 63 • 1,08~3 = 11000 • (1 + 12)ъ -1,08"5. Изменим теперь условия задачи. Пусть цена товара у пгорого продавца не определена, а задана ставка процентов i2 = 7% годовых. Определим предельное значение цены товара Р° . Опять обратимся к равенству современных величин Л, и Л2: 10000 • 1,0763 • 1,0Г3 = Р2 ¦ 1,07S ¦ 1,08~5 Отсюда находим: Я0 =10360,14, т.е. если Р2 < 10360,14, то второй продавец конкурентно способнее первого. ¦ Пример 6.7.6. Условия базового варианта контракта следующие. Кредит для покупки товара на сумму в 15 млн. выдается под 10% годовых. Товар поставляется через год при выплате аванса в 1 млн. в начале сделки. На авансовый платеж начисляютя простые проценты по той же ставке. После поставки товара предоставляется льготный период на полгода, в течение которого в конце каждого месяца выплачиваются проценты по сложной ставке. Далее кредит погашается в течение 5 лет поквартальными, равными платежами постнумерандо. Второй поставщик того же товара может продать его за 16 млн. на следующих условиях. В начале сделки выплачивается аванс в 1,2 млн., проценты на аванс не начисляются. Товар поставляется через полгода. После поставки товара предоставляется льготный период на год, проценты за который выплачиваются в конце его срока по сложной ставке процентов. Затем долг погашается в течение 7 лет полугодовыми, равными платежами постнумерандо. Для ставки сравнения в 11 % годовых укажите предельное значение ставки i2 , при которой оба варианта поставки товара для покупателя будут эквивалентны. Вычисления проведите с точностью до 0,01%. > В начале вычислим современную величину потока платежей для базового варианта контракта. Сумма долга на конец первого года = 15 - 1,1 = 13,9 млн. Годовые погасительные платежи на протяжении последних пяти лет 13 9 равны: К, = -^- = 3,53678852 млн. Тогда, в силу форму а5;10 лы (25) (с учетом формулы (26)), имеем: Д = 1 + 13,9 - 0,1 • адді о • 1,1 Г1 + 3,53678852 • • 1,1 Г1\'5 = = 13.23756046 млн. Для сравниваемого варианта контракта долг к концу полугодия будет равен: D2 — 16 - 1,2 = 14,8 млн. Используя формулу (25), получим А = 1,2 + 14,8 • І, • 1,1 Г1\'5 + 14\'8;^)\' • 1,1 Г1,5, или Л2 = 1,2 + /2 • 12,65543994 + 122.4642002 • + - 1) 2 1-а + і2Г7 Тогда равенство А} - Л2 приобретает вид: 12,03756046 = /2 • 12,65543994+ 122,4642004 ((1 + г2)\'^2 -1) 1 - (1 + г2) Решая это уравнение, получаем: i2 = 0,0696 = 6,96%. При такой ставке процентов сравниваемый вариант контракта будет эквивалентен базовому варианту. ¦
Еще по теме Метод критической точки.:
- Методы расчета критической точки безубыточности
- 6.7. Сравнение коммерческих контрактов. Метод критической точки
- Расчет критической точки по стоимостным показателям продукции
- 8.5.2 Метод критического объема и планирование прибыли
- Метод критических значений
- Дифференциация издержек методом максимальной и минимальной точки
- 1. Дифференциация издержек методом максимальной и минимальной точки.
- Давайте рассмотрим возникновение кризисов в религии денег с точки зрения процессов накопления и с точки зрения процессов обращения денег.
- C точки зрения государственников, революция и анархия - антиподы, а с точки зрения анархистов антиподы - революция и власть коммунистов
- Критическая ситуация
- § 2. Метод индексовых чисел. — Метод „Economist’a".—Метод Зауэрбека. — Метод Зетбеера. — Метод Р. Фолькнера, —Бюджетный метод.— Аргументы за и против бюджетного метода. — Скептическое отношение Кнаппа и др. к индексам.— Истинное значение индексов.
- Тема 1. Критические или кризисные ситуации.