Ошибки измерения объясняющих переменных

Допустим, переменная * зависит от переменной г, что задано следующим соотношением:

• = а + р? + v,              (8.7)

где v — случайный член с нулевым средним и дисперсией а„2.

Предположим, что z невозможно измерить абсолютно точно, и мы будем использоватьх для обозначения его измеренного значения. В /-м наблюдениих, равно истинному значению z, плюс ошибка измерения и»,.:

x, = z, + и»,.              (8.8)

Допустим, что w имеет нулевое среднее и дисперсию aw2, что Var (?) в больших выборках стремится к конечному пределу а2 и что z и v распределены независимо.

Подставляя формулу (8.8) в уравнение (8.7), получим:

• = a + px + v-pw.              (8.9)

Это уравнение имеет две случайные составляющие — первоначальный случайный член v и ошибку измерения w (умноженную на —Р). Вместе они образуют составную случайную переменную, которую мы назовем и:

и = v - ри\\              (8.10)

Соотношение (8.9) можно теперь записать как

• = а + рх + ы.              (8.11)

Имея значения переменных * (временно будем предполагать, что они измерены точно) и х, мы, несомненно, можем оценить регрессионную зависимость * ОТ X.

Коэффициент регрессии Ь, как обычно, представляется выражением (8.2). Анализируя ошибку, можно заметить, что она, вероятно, поведет себя не так, как требуется. Переменная х зависит от w (8.8), от этой величины зависит также и и (8.10). Когда ошибка измерения в наблюдении оказывается положительной, происходят две вещи: х. имеет положительную составляющую w., а uf имеет отрицательную составляющую — Pw;. Аналогично, если ошибка измерения отрицательна, она вносит отрицательный вклад в величину х,. и положительный вклад в величину иг Следовательно, корреляция между х и и отрицательна.

Даже если бы у нас была очень большая выборка, оценка оказалась бы неточной. Она бы занижала Р на величину

(8.12)

р.

2 2 a; +oi

Доказательство этого дается ниже. Сначала мы отметим его очевидные следствия. Чем больше теоретическая дисперсия ошибки измерения по отношению к теоретической дисперсии z, тем больше будет отрицательное смещение. Например, если бы о2 было равно 0,25сг2, то отрицательное смещение составило бы:

что равняется 0,2р. Даже если бы выборка была очень большой, оценка оказалась бы на 20% ниже истинного значения при положительном р и на 20% выше его при отрицательном р.

Рисунок 8.1 показывает, как ошибка измерения приводит к появлению смещенных коэффициентов регрессии, если использовать модель, представленную выражениями (8.7) и (8.8). На рис. 8.1 А мы предполагаем, что ошибка измерения отсутствует и что отклонения от линии регрессии вызываются только случайным членом v. На рис. 8.1 Б предполагается, что переменная х подвержена воздействию существенной ошибки измерения, которая сдвигает наблюдения вправо при их положительном значении и влево — при отрицательном. По причине горизонтального рассеяния множество точек наблюдений здесь кажется более пологим, чем на рис. 8.1А, и оцененная линия регрессии будет иметь тенденцию к занижению угла наклона истинной линии зависимости. Чем больше дисперсия ошибки измерения по отношению к дисперсии х, тем больше окажется эффект уменьшения угла наклона и тем сильнее будет смещение.