Стохастические объясняющие переменные


До сих пор мы считали, что объясняющие переменные в регрессионной модели являются нестохастическими. Это означает, что если бы нам пришлось повторить регрессионный анализ с новой выборкой, то значения объясняющих переменных остались бы неизменными.
При этом значения зависимой переменной изменились бы, потому что новая выборка содержала бы новую совокупность значений случайного члена.
Такое допущение может показаться странным. На практике в эконометрике мы оцениваем параметры модели регрессии только один раз. Редко бывает возможность повторить расчет с теми же или с другими значениями объясняющих переменных. Единственным общим исключением являются эксперименты лабораторного типа, основанные на использовании метода Монте-Карло.
Причина выдвижения данного предположения была технической и заключалась в упрощении анализа свойств оценок регрессии. Например, мы видели, что в модели парной регрессии
у = а + Рх + и              (8.1)
оценка МНК коэффициента наклона может быть представлена в виде разложения:
t Cov(x, у) а , Cov(x, и)
lt;8-2gt;
Теперь если х — нестохастическая переменная, то Var (х) также является нестохастической величиной, и математическое ожидание ошибки может быть записано как F[Cov (х, w)]/Var (х). Кроме того, если переменная х неслучайна, то F[Cov (х, и)] = 0. Поэтому доказательство того, что b — несмещенная оценка р, не вызвало затруднений. Хотя доказательство не было представлено, предположение о нестохастичности использовалось и при получении выражения для стандартной ошибки коэффициента. Кроме того, оно используется в теореме Гаусса—Маркова, доказывающей, что если удовлетворены условия Гаусса—Маркова, то оценки МНК эффективны.
В экономической практике предположение о нестохастичности часто оказывается весьма нереалистичным. Обычно обнаруживается, что объясняющие переменные модели сами были определены из других экономических зависимостей. Как мы увидим в главе 11, часто желательно рассматривать не одну зависимость изолированно, а целую систему зависимостей, действующих одновременно.
Мы изучим три типа моделей со стохастическими объясняющими переменными, классифицируемых в соответствии с тем, какова связь между распределениями этих переменных и распределением случайного члена. Все они имеют важное практическое значение.
  1. В моделях первого типа объясняющие переменные распределены независимо от случайного члена.
  2. В моделях второго типа объясняющие переменные и случайный член не являются независимыми, но их значения в каждый момент времени некоррелированы (т. е. текущие значения объясняющих переменных не коррелируют с текущим значением случайного члена).
  3. В моделях третьего типа значения объясняющих переменных и случайного члена коррелируют в каждый момент времени.

Прежде чем начать рассмотрение указанных типов моделей, необходимо прояснить вопрос, о котором нередко забывают, — о дисперсиях и ковариациях объясняющих переменных в больших выборках.
Обычно предполагается, что они стремятся к конечным пределам. Для упрощения мы примем здесь сильную форму этого допущения, заключающуюся в том, что объясняющие переменные могут рассматриваться как особый вид случайных переменных, для которых выборочные значения извлекаются (не обязательно независимо) из генеральных совокупностей с конечными средними, дисперсиями и ковариациями.
Справедливости ради следует отметить, что, по-видимому, мотивация для этого предположения — прежде всего практическая, так как это делает несложным определение поведения оценки в больших выборках. Действительно, это предположение является целесообразным, если вы имеете дело со статистическими данными, относящимися к различным отраслям экономики, и наблюдения берутся (случайно или в рамках схемы расслоенной выборки) из данной генеральной совокупности. Это предположение может быть также обоснованным в том случае, когда вы имеете дело с данными временного ряда, сформированными стационарным процессом, т. е. таким, в котором распределение х не зависит от времени. Уравнение (7.21) является примером стационарного процесса при выполнении условия устойчивости — 1 lt; р lt; 1.
Тем не менее во многих моделях, особенно в тех, где используются данные временных рядов, это предположение не является целесообразным. Весьма очевидно, что когда модель включает переменные с трендом, имеет смысл считать, что Var(x) неограниченно увеличивается по мере расширения периода выборки. Примером являются функции спроса, которым в этой книге уделяется особое внимание. Поэтому мы будем рассматривать также и эту альтернативу. Анализ ограничим рассмотрением модели парной регрессии (8.1), но результаты легко распространяются и на случай множественной регрессии.
Случай, когда распределение х имеет конечное математическое ожидание и конечную дисперсию
Сначала рассмотрим случай, когда х извлекается из генеральной совокупности с конечными математическим ожиданием и дисперсией, обозначаемой о2.
а)              х и и независимо распределены
Если х и и распределяются независимо друг от друга, то обычный МНК сохраняет все свои важные свойства. Сюда относятся несмещенность, эффективность и состоятельность. Кроме того, критическая статистика может использоваться, как обычно, при условии, что распределение х не зависит от параметров а, Р или ан. Мы покажем, что выполняются условия несмещенности и состоятельности, а соблюдение требования эффективности примем на веру.
<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М,1999. — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме Стохастические объясняющие переменные:

  1. Основные теоретические аспекты темы.
  2. Основные теоретические аспекты темы.
  3. СОДЕРЖАНИЕ
  4. Предположения о случайном члене
  5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЯ
  6. Стохастические объясняющие переменные
  7. Состоятельность
  8. Частичная корректировка
  9. Нереализованный проект теории экономической динамики Н.Д.Кондратьева
  10. § 1. Понятие, структура и признаки банковскои системы России
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -