<<
>>

1. ЗАДАЧА ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Инвестиционные проекты (например, проекты капитального строительства), как правило, технологически между собой не связаны. Зависимость между ними проявляется через общие финансовые ресурсы.
Существуют различные постановки задач финансирования инвестиционных проектов. Рассмотрим некоторые из них, связанные с выбором портфеля проектов при различных схемах финансирования и учете риска.

Пусть имеются m проектов, удовлетворяющих необходимым условиям эффективности (коммерческой, бюджетной и экономической). Каждый проект представлен в агрегированном виде и описывается тремя показателями - требуемым объемом финансирования Si, продолжительностью реализации Ti и ожидаемым доходом от проекта Fi.

Возможны различные источники финансирования проектов (собственные средства, кредит, ссуда под залог недвижимости, выпуск акций и т. д.). Мы рассмотрим задачу выбора портфеля проектов при использовании двух схем финансирования - за счет собственных средств и за счет кредитов.

Обозначим A - объем финансирования из собственных средств, S - общий объем финансирования. Если S > A, то разность S - A финансируется за счет кредитов, что естественно увеличивает стоимость проекта. Обозначим 3i = Fi - Si коммерческую эффективность проекта (приведенную к рассматриваемому периоду). Очевидно, что для всех проектов, удовлетворяющих необходимым условиям эффективности 3i > 0.

Пусть Q - множество финансируемых проектов (портфель проектов),

F(Q) = X Fi (1.1)

ieQ

ожидаемым доход от пакета проектов,

L(S) =

если S < A,

S + a(S - A), если S > A (12)

стоимость финансовых ресурсов с учетом процентов за кредит (a - процентная ставка),

3(Q) = F(Q) - L(Q) (1.3)

ожидаемая коммерческая эффективность портфеля Q. Задача заключается в выборе портфеля Q0, имеющего максимальную эффективность -

3(Q0) = Э max

Обозначим Q1 оптимальное решение задачи

X(Эi) ® max (1.4)

ieQ

XSi < A, (1.5)

ieQ

а Q2 - оптимальное решение задачи

Х[Эi - Simax (1.6)

i eQ

XSi > A. (1.7)

ieQ

Теорема 1.

Максимальная эффективность

Эн^ = max P(Q0, Э^)],

а оптимальный пакет

q =|Q1, если Э(Ql) > Э^2) Qo [Q2, еслиЭ(Q2) > Э^У

Доказательство. Очевидно, что решение задачи максимизации (1.3) можно свести к решению двух задач. В одной задаче объем финансирования не более A, а во второй - не менее A. Первая задача, это задача (1.4) - (1.5). Во второй задаче критерий (1.3) принимает вид

3(Q) = F(Q) - S - a(S - A) = ? [3i - aSi ] + aA,

и задача его максимизации при условии S > A эквивалентна задаче (1.6) - (1.7). Теорема доказана.

Задача (1.4) - (1.5) это известная задача о ранце, эффективно решаемая методом динамического программирования. Опишем метод решения задачи (1.6) - (1.7).

Предварительно определяем множество D проектов, для которых 3i - aSi > 0. Эти проекты безусловно входят в решение задачи, так как добавление любого такого проекта увеличивает (1.6). Если ? Si > A, то

iGD

множество D определяет оптимальное решение задачи (1.6) - (1.7). Действительно, это решение является допустимым, а добавление любого проекта j € D уменьшает целевую функцию (1.6). Пусть S(D) = ? Si < A.

Обозначим через 5 разность 5 = A - S(D), D - дополнение к множеству D, Di = aSi - 3i, i G D. Рассмотрим следующую задачу: определить множество D1 с D, такое что

(1.8)

(1.9)

Если D1 - оптимальное решение этой задачи, то D^D1 оптимальное решение задачи (1.6) - (1.7). Этот факт достаточно очевиден и следует из элементарных преобразований задачи (1.6) - (1.7) и того, что все проекты множества D входят в решение этой задачи.

Задачу (1.8) - (1.9) можно свести также к задаче о ранце, если искать не множество финансируемых проектов D1, а множество нефинансируемых D2.

Поскольку

I Si = ? Si + I Si и

ieD ieD1 ieD2

ID i = !д i + i,

ieD ieD1 ieD2

то задача минимизации (1.8) эквивалентна задаче максимизации

(1.10)

ieD2 V }

при условии

I Si ieD2 ieD

Пример 1.1. Имеются четыре проекта, данные о которых приведены в таблице 1.1 (a = 1). Пусть А = 8.

шаг. Решаем задачу о ранце. Обозначим xi = 1, если проект i финансируется, и xi = 0 в противном случае. Задача о ранце имеет вид:

7x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 ® max 6x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 < 8. Ее решение в этом случае очевидно: x2 = x3 = 1, остальные xi = 0, то есть Q1 = {2, 3}, 3(Q0 = 8.

шаг. Проекты 1, 2 и 3 сразу входят в решение, то есть d = {1, 2, 3}. Так как S1 + S2 + S3 = 13 > 8, то получено оптимальное решение, то есть Q2 = D. Имеем

3(Q) = З1 + Э2 + З3 - a(S1 + S2 + S3 - 1) = 10 max [3(Q1); 3(Q2)] = 3(Q2) = 10, поэтому оптимальный портфель проектов Q0 = {1, 2, 3}, или Q0 = {1, 2},

3(Q0) = 10.

Пусть теперь a = 1, 2. В этом случае Di уменьшаются и будут равны следующим величинам:\r\ni 1 2 3 4\r\n

Таблица 1.1.

\r\ni 1 2 3 4\r\nЭi 7 5 3 5\r\nSi 6 4 3 7\r\nAi 1 1 0 -2\r\nAi -0,2 0,2 -0,6 -3,4\r\nМножество D содержит всего один проект d = {2}. Так как S2 = 4 < 8, то решаем задачу о ранце (находим множество нефинансируемых проектов):

0,2x1 + 0,6x2 + 3,4x3 ® max 6x1 + 3x2 + 7x3 < 12. В данном случае решение также очевидно - x1 = 0, x2 = x3 = 1, или D1 = {1}, D2 = {2, 3}. Имеем:

Q2 = D u D1 = {1, 2} 3(Q2) = 7 + 5 - 1,2-(6 + 4 - 8) = 9,6. По-прежнему 3(Q2) > 3(Q1) и поэтому оптимальное решение Q0 = {1, 2}, 3(Q0) = 9,6. В более сложных случаях для решения задачи достаточно эффективным является метод динамического программирования. Для применения метода предварительно на плоскости строим систему координат, одна ось которой соответствует проектам, а вторая - объему финансирования. По оси проектов отмечаем номера проектов 1, 2, 3, 4. Из начала координат проводим две дуги - одна горизонтальная, в точку (1, 0), а другая - в точку (1, S1).

Первая дуга означает, что проект 1 не финансируется, а вторая, - что он финансируется. Из каждой точки также проводим по две дуги, уже для второго проекта. Получаем уже четыре точки - (2, 0), (2, S1), (2, S2), (2, S1+S2), соответствующие четырем возможным вариантам для двух первых проектов (если S1 = S2, то получаем три точки). Продолжая таким образом, получаем сеть, приведенную на рис. 1.1. Очевидно, что любой путь в сети из начальной

вершины (0, 0) в конечные вершины соответствует некоторому портфелю проектов. И наоборот, любому портфелю проектов соответствует путь в сети, соединяющий начальную координату с какой-либо конечной вершиной.

Значение координаты по второй оси равно объему финансирования соответствующих портфелей. Примем длины горизонтальных дуг равными нулю, а длины наклонных дуг - эффективностям 3i соответствующих проектов. В этом случае длина пути будет равна эффективности F(Q) соответствующего портфеля Q. Следовательно, путь максимальной длины, соединяющий начало координат и точку (4, S) будет соответствовать портфелю максимальной эффективности, среди всех портфелей, требующих объема финансирования S. Таким образом, мы получаем оптимальные портфели при любых объемах финансирования. Если теперь из полученных величин максимальных эффективностей вычесть стоимость требуемых финансовых ресурсов L(S) и выбрать максимум из полученных разностей, то мы получим оптимальное решение задачи (1.3). Заметим, что описанный алгоритм можно применять для любых зависимостей L(S). На рис.1.1 длины дуг указаны в круглых скобках , а в вершинах указаны длины максимальных путей, ведущих в эти вершины. У конечных вершин сети рядом с ними указаны значения L(S) - S (со знаком минус) и разности F(Q) - L(S). Оптимальные варианты выделены. Естественно, мы получили те же портфели Q0 = {1, 2, 3} и Q0 = {1, 2}.

Анализируя приведенные решения (рис 1.1) можно заметить любопытный парадокс. При финансировании проектов в объеме 11 мы получаем максимальную эффективность портфеля 10, что меньше, чем при меньшем финансировании в объеме 10.

Парадокс в том, что если задать вопрос, в каком случае будет большая эффективность оптимальных портфелей, - при финансировании в объеме 10 или в объеме 11 единиц, то любой здравомыслящий человек ответит, что чем больше объем

Рис. 1.1.финансирования, тем больше эффективность оптимального при этом объеме портфеля!

Рис. 1.1.

финансирования, тем больше эффективность оптимального при этом объеме портфеля!

Полученные значения 3(Q) при различных объемах финансирования выпишем в таблицу:

Таблица 1.2.\r\n№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9\r\nОбъем финансирования 3 4 6 7 9 10 13 17 20\r\nЭффективность портфеля 3 5 7 8 10 12 15 17 20\r\nВарианты, нарушающие монотонность (парадоксальные варианты) мы, естественно, не выписываем. Имея такую таблицу можно решать задачи выбора оптимального портфеля проектов при различных зависимостях стоимости финансовых ресурсов от объема финансирования, определяемых используемыми схемами финансирования.

Помимо затрат на реализацию проекта и его эффективности, важной характеристикой является надежность проекта или уровень риска. Под надежностью проекта будем понимать вероятность его реализации в требуемые сроки при выделенных ресурсах. При таком определении предполагается, что затраты на реализацию проекта в заданные сроки являются случайной величиной, имеющей функцию распределения P(S). Смысл этой величины в том, что она равна вероятности реализации проекта при объеме финансирования S.

Как правило, надежность проекта оценивается экспертами при нескольких значениях затрат с последующей аппроксимацией. Зная характеристики надежности проектов Pi(Si) (или риски Ri (Si) = 1 - Pi(Si)), можно оценить ожидаемый доход как произведение Fi • Pi(Si). Поставим задачу определить объем финансирования проектов так, чтобы суммарный ожидаемый доход

m

F = 1 FiPi(Si) (1.12)

i=1

был максимален при заданном объеме финансирования S.

Сложность решения этой задачи связана с тем, что функции Pi(Si) не являются вогнутыми, а следовательно задача является многоэкстремальной.

Примем, что эксперты дают дискретные оценки надежности для любого проекта.

Задача достаточно эффективно решается методом динамического программирования. Для этого достаточно внести небольшие изменения при построении сети рисунка 1.1. А именно, вместо двух дуг (проект финансируется или не финансируется) необходимо ввести столько дуг, сколько вариантов финансирования данного проекта имеется. Соответственно, для каждой дуги следует задать длину, соответствующую ожидаемой эффективности при данном финансировании.

Пример 1.2. Рассмотрим этот метод решения на задаче 1.1, ограничившись тремя первыми проектами. Примем, что для каждого проекта имеются два варианта финансирования, один - с высоким риском, но с малым объемом финансирования, а другой - с низким риском, но, соответственно, с большим объемом финансирования. Данные о проектах приведены в таблице 1.3.

Сеть возможных вариантов выбора портфеля приведена на рис . 1.2.

Таблица 1.3.\r\ni 1 2 3\r\n 1 2 1 2 1 2\r\nFiPi 4 7 3 5 2 3\r\nSi 3 6 2 4 1 3\r\n

В данном случае при a = 1 получаем три оптимальных варианта, причем во всех вариантах финансируются все проекты, но по разному. В первом варианте проекты 1 и 2 получают максимальное финансирование, во втором максимальное финансирование получает только первый проект, а в третьем только второй. Таким образом рассмотренная задача позволяет выбрать максимальный диверсифицированный портфель проектов при различных схемах финансирования.

До сих пор мы предполагали, что риск проекта не зависит от выбранной схемы финансирования. Однако, во многих случаях выбор схемы финансирования существенно влияет на проектный риск. Особенно такая зависимость имеет место в случаях, когда финансирование осуществляется за счет выпуска ценных бумаг (например, организация

3

2

1

13 12 11 10 9 8 7 6

5 4 3 2 1

15-5=10

14-3=© 12-2=10 12-1=© 11-0=© 9-0 = 9 9-0 = 9 7-0 = 7 6-0 = 6 5-0 = 5 3-0 = 3

2-0 = 2 >

Рис. 1.2.

акционерного общества). В таких случаях кроме выбора пакета проектов и определения объема финансирования каждого проекта, необходимо определить схему его финансирования. Заметим, что под схемой финансирования мы понимаем не только способы получения средств на реализацию проекта (собственные средства, кредиты, выпуск ценных бумаг и т.д.) но и приоритетность финансирования объектов по этим способам. Рассмотрим простейшую задачу, когда имеется только один способ финансирования и определен портфель финансируемых проектов. Требуется определить приоритетность финансирования проектов в случае нехватки средств. Обозначим Ф(Б) - функцию распределения объема финансовых ресурсов который можно использовать для финансирования проектов, Si, как и ранее, объем финансирования i-го проекта. Если задана приоритетность проектов (i1, i2, ... , im), то вероятность полного финансирования проекта ik определяется выражением

P = 1 - Ф

(1.13)

Z Si,

V q=1 0

Ожидаемый доход при этом равен

Z FiqPiq = Z Fi

1 - Ф

Ik

Z Si,

V q=1 0

q=1 k=1

im), такой

Задача заключается в определении перестановки p = (i1, i2, что величина

Z Fik • ®Z Siq

k=1 Vq=1 /

минимальна. Эта задача аналогична задаче минимизации упущенной выгоды. В линейном случае, когда Ф = a + bS, оптимальная перестановка соответствует упорядочению по убыванию Fi /Si (удельный доход).

<< | >>
Источник: Бурков В.Н., Квон О.Ф., Цитович Л.А.. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ МУЛЬТИПРОЕКТНОГО УПРАВЛЕНИЯ -М., 1997 (Препринт / Институт проблем управления). - 62 с.. 1997

Еще по теме 1. ЗАДАЧА ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ:

  1. 1.Виды инвестиционных проектов и требованья к их разработке.
  2. 4. Оценка рисков реальных инвестиционных проектов.
  3. 3.3. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
  4. 1. ЗАДАЧА ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
  5. 4.4. Инвестиционное воспроизводство государственного имущества и проблемы его регионализации
  6. § 2. Классификация инвестиционных проектов
  7. §1. Логика оценки инвестиционных проектов
  8. § 2. Исходные понятия и алгоритмы, используемые для разработки критериев оценки инвестиционных проектов
  9. § 5. Социальные результаты инвестиционных проектов
  10. §1. Классификация вилов и форм финансирования
  11. § 5. Бюджетное финансирование
  12. §3. Основные положения по оценне международных инвестиционных проектов
  13. Основные направления государственной инвестиционной политики
  14. § 2. Ситуационные и практические задачи по финансированию капитальных вложений
  15. § 3. Методические рекомендации к решению задач по финансированию капитальных вложений
  16. 3.4. Управление рисками в ходе реализации инвестиционных проектов. Методика оценки рисков.
- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -