Доказательство.

Q —

?(Aq Xoq(t)) < Bq(t), q = 1,Q , (6.8.7)

q = 1

а остальные строгими равенствами:

Q _

? (Aq Xoq(t)) = Bq (t), q = 1, Q . (6.8.8)

q = 1

Пусть часть прибыли, получаемые от Xo(t) - объемов продукции, пойдет на воспроизводство.

A(t)X(t) < B(t) + AB(t + 1). (6.8.9)

Заменим (6.8.3) на (6.8.9) и решим ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4). В результате получим новую оптимальную точку Xo(t + 1), в которой максимальная относительная оценка Xo(t + 1) увеличивается на некоторую величину AX(t + 1) относительно Xo(t):

Xo(t + 1) =Xo(t) + AX(t + 1),

но в соответствии с теоремой 1 в точке Xo(t + 1) относительные оценки всех ЛП будут равны между собой:

Xo(t+1) = X1(Xo1(t + 1)) =...= Xq(^C o(t + 1)) =...= Xg(XoQ(t + 1)). (6.8.10)

Отсюда вытекает, что в конце промежутка времени At = (t + 1) - t все ЛП q = 1, Q развиты

равномерно, т. е. относительные оценки в точке Xo(t + 1) равны между собой и равны + 1), и развитие их происходит пропорционально, т. е. приращение относительной оценки по каждой ЛП

АЯ = + 1) - Я°ф = MXo!(t + 1)) - MXo!(t)) =...= Яq(Хo (t + 1)) - Яq(Хo (t)) =...

одинаково для всех ЛП Vt, (t + 1) e T при изменении ресурсов в период (t + 1) e T. Таким образом, для первого промежутка времени At = (t + 1) - t теорема доказана. Рассмотрим решение ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4) на какой-то новый год (t + т) e T, где т - величина промежутка времени, лежащего в пределах 1 < т < (T - t), измеренная в годах.

A(t)X(t) < B(t) + AB(t + т). (6.8.11)

Заменим (6.8.3) на (6.8.11) и решим ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4). В результате получим новую оптимальную точку Xo(t + т), в которой максимальная относительная оценка + т) увеличивается на некоторую величину АЯ^ + т) относительно Я°^): Я^ + т) = Я°ф + АЯ^ + т),

но в соответствии с теоремой 1 в точке Xo(t + т) относительные оценки всех ЛП будут равны между собой:

Я^ + т) = MXo!(t + т)) =...= Яq(Х0q (t + т)) =...= ЯQ(X°Q(t + т)). (6.8.12)

Отсюда вытекает, что в конце промежутка времени Ат = (t + т) - t все ЛП q = 1, Q развиты

равномерно, т. е. относительные оценки в точке Xo(t + т) равны между собой и равны + т), и развитие их происходило пропорционально, т. е. приращение относительной оценки по каждой ЛП АЯ = Я^ + т) - Я°ф = MX^t + т)) - MX^t)) =...= Яq(Х0q (t + т)) - Яq(Х0q (t)) =... одинаково для всех ЛП Vt, (t + т) e T при изменении ресурсов в (t + т) e T. Таким образом, для любого промежутка времени At = (t + т) - t теорема доказана. Теорема 2 (Об ИС, развитых равномерно и пропорционально, с заданным приоритетом критерия).

Если в ВЗМП (6.8.1)-(6.8.4)

а) для любой пары индексов q, k e Q пересечение подмножеств индексов переменных пусто, т. е. критерии независимы (верны соотношения (6.8.6));

б) один из критериев q e Q имеет приоритет над другими, то в точке оптимума Xo(t), полученной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, в каждый промежуток времени t = 1, ..., T все ЛП развиты:

равномерно, т. е. относительные оценки равны между собой и равны Я°:

Я°ф = Pqk (X°(t))Яk(X°(t))\' q = 1Q, k e Q,

где Pqk (Xo(t)), q = 1, Q - заданный приоритет q-го критерия по отношению к остальным k = 1, Q критериям;

пропорционально, т.е. АЯ^ + т) = + т) - Я°(^ одинакова для всех ЛП Vt, (t + т) e T при изменении ресурсов в т e T относительно промежутка времени t e T:

АЯ = Pqk (Xo(t + т))Яk(Х°(t + т)) - Pqk (X°(t))Яk(Х°(t))\' q = 1Q, k e Q.

Встает вопрос об адаптации модели, представленной ВЗМП (6.8.1)-(6.8.4), к реальной ситуации. Адаптация выполняется в два этапа.

На первом этапе модель (6.8.1)-(6.8.4) ставится в соответствие первоначальному состоянию

путем использования начального вектора приоритетов Pnq, q = 1, Q таким образом, чтобы Pnq Aq(X°(t)) = Pnq(fq(X°(t - 1))/fq = fq(t - f q = \\Q , (6.8.13)

где fnq(t - 1), q = 1, Q - выпуск продукции за прошедший (t - 1) e T год (начальный выпуск). Из (6.8.13) вытекает, что fq(t - 1) = Pnq(fq(X°(t - 1)), q = 1Q .

Эти равенства могут быть получены путем подбора при решении Я-задачи (6.8.1)-(6.8.4) с приоритетом критерия.

После того как векторная модель (6.8.1)-(6.8.4) и соответствующая ей Я-задача поставлены в соответствие настоящему моменту, модель может решаться в динамике за t = 1, ..., T лет.

На втором этапе модель (6.8.1)-(6.8.4) рассматривается, исходя из предпосылок, что той или иной ЛП дается приоритет (опережающий рост развития). В этом случае задача (6.8.1)-(6.8.4) решается с заданным вектором приоритета Pkq, q = 1, Q, k e Q, который вставляется в X-задачу. В результате получим X-задачу с приоритетом q-го критерия: Xo(t) = max X(t),

X(t) - PnqPkqXq(Xo(t)) < 0, k = , q = HQ , (6.8.14)

X(t) - Xk(fk(Xq(t), k = 1Kq , q = 1Q ) < 0, k e K, (6.8.15)

A(t)X(t) < B(t), (6.8.16)

Aq(t)Xq(t) < Bq(t), q = \\Q , (6.8.17)

Xq(t) > 0, q =1Q , t = 1, T,

где X(t) = {Xq(t), q = 1, Q } - вектор неизвестных, вектор приоритетов Pkq, k = 1, Kq , q = 1, Q лежит в пределах:

Pkq(Xo(t)) < Pkq < Pkq(X*q(t)), q = \\Q , Vk e Q,

X*q(t), q = 1, Q - точка оптимума, полученная по одному q-му критерию (подробнее см. гл. 2,

3).