6.9.2. Формализация многоуровневой ИС векторной задачей линейного программирования
Представим механизм функционирования такой ИС введем обозначения: г - индекс номера уровня ИС г = 1, R , R - множество индексов уровней ИС, qr - индекс номера подсистем г e R уровня ИС, qr = 1,0 г, где Qr множество индексов подсистем, находящихся на г e R уровне ИС.
Всю ИС разобьем на ряд двухуровневых ИС.
Выделим двухуровневую ИС, принадлежащую (г - 1) и г -му уровню (г - 1), г e R и опишем механизм ее функционирования:qr-1 e Qr-1 - индекс номера подсистем (г - 1) e R уровня ИС qr-1 = 1,0 г-1, где Qr-1 множество индексов подсистем, находящихся на (г-1) e R уровне ИС, - эти подсистемы являются управляющими для г e R уровня: qw-1 e Q-,
q^M - индекс номера подсистем г e R уровня ИС, замыкающейся на qr-1 e Qr-1 подсистему (г - 1) e R уровня ИС; q^M = 1,0 глг-ь где Qr,qr-;i - множество индексов подсистем, г e R уровня ИС, замыкающейся на qr-1 e Qr-1 подсистему (г - 1) e R уровня ИС: Qr,qr-1 С Q-, (г - 1), г e R, (6.9.6)
U Qr,qr-1 = Qr , (г - 1), г e R. (6.9.7)
Из (2.9.7) вытекает, что на уровне r e R число подмножеств ЛП, входящих в двухуровневые ИС, равно числу ЛП, находящихся на (r - 1) e R уровне.
Пусть X(t) = {xj(t), j = 1,N} - вектор неизвестных, выражающий объем j-го вида продукции, выпускаемой всей ИС за период времени t e T, N - множество индексов видов продукции.
Xqr-1(t) с X(t) - вектор неизвестных, выражающий объемы продукции, выпускаемой двухуровневой ИС, верхняя управляющая подсистема, которая принадлежит уровню (r - 1) e R и определена индексом qr-1 e Qr-1.
Xqr qr-1(t) с Xqr-1(t) - вектор неизвестных, выражающий объемы продукции, выпускаемые q-ой ЛП r e R уровня, замыкающейся на qr-1 e Qr-1 ЛП уровня (r - 1) e R.
На функционирование каждой управляющей ЛП (r - 1) e R уровня, которая с учетом замыкающихся на нее ЛП r- e R уровня является двухуровневой, накладываются ограничения по ресурсам: материальным, трудовым и мощностям.
При этом предполагается, что известна функциональная взаимосвязь затрат ресурсов с объемами выпускаемой продукции Xqr-1(t), qr-1 e Qr-1, (r - 1) e R. Представим их в виде двух групп ограничений:глобальных ограничений, накладываемых на двухуровневую ИС: Gqr-1(Xqr-1(t)) < Bqr-1, Vqr-1 e Qr-1, V(r - 1) e R, (6.9.8)
или
gI,qr-1(Xqr-1(t)) < bi qr-1, 1 = 1, Mqr-1, Vqr-1 e Qr-1, V(r - 1) e R,
где 1 - индекс вида ресурса, который необходим при выпуске Xqr-1(t) объемов продукции, Mqr-1 - множество индексов видов ресурсов, biqr-1 - возможности ЛП в приобретении 1-го вида ресурса на планируемый интервал времени;
ограничений, накладываемых на отдельную ЛП, замыкающейся на qr-1 e Qr-1 ЛП уровня (r - 1)
e R:
^Gqr,qr-1 (Xqr,qr-1(t)) < Bqr,qr-1, Vqr-1 e Qr-1, Vqr e Qr, Vr, (r-1) e R. (6.9.9)
Функционирование qr-1 e Qr-1, (r - 1) e R ЛП оценивается набором технико-экономических показателей. Представим их также в виде двух групп, предполагая известной функциональную взаимосвязь каждого технико-экономического показателя с вектором переменных Xqr-1(t), Vqr-1 e Qr-1. Тогда такие технико-экономические показатели можно использовать как целевые функции (критерии) ЛП. Первая группа критериев определяет функционирование отдельной ЛП qr e Qrqr-1 с Qr, Vr, (r - 1) e R:
Fqr (Xqr ,qr-1 (t)) = {fk 1\' K
Vqr e Qr, qr-1 e Qr-1, (6.9.10)
где k - индекс критерия ЛП, Kqrqr-1, VqreQr, Vqr-1eQr-1 множество технико-экономических показателей (критериев), описывающих функционирование этой ЛП;
вторая группа критериев определяет функционирование двухуровневой ИС (r - 1) e R уровня:
Fqr-1(Xqr-1(t)) = {fk,qr-1(Xqr-1(t)), k = qr-1}, Vqr-1 e Qr-1, (r - 1) e R. (6.9.11)
Предполагается неотрицательность компонент вектора переменных: Xqr,qr-1 > 0, Vqr e Qr, Vqr-1 e Qr-1. (6.9.12)
Примем, что ограничения (6.9.8)-(6.9.9) и критерии (6.9.10)-(6.9.11) линейны. Цель каждой локальной системы состоит в оптимизации своих критериев, т. е.
решается векторная задача линейного программирования:opt Fqr,qr-1(Xqr,qr-1(t)) = {opt fk,qr\'qr-l(Xqr\'qr-l(t))\' k = 1, К qr,qr-1, (6.9. 13)
Gqr,qr-1 (Xqr,qr-1(t)) < Bqr,qr-1, (6.9. 14)
Xqr,qr-1 > 0, Vqr e Qr, Vqr-1 e Qr-1. (6.9.15)
Это модель локальной подсистемы, находящейся на нижнем уровне иерархии. Обозначения аналогичны ВЗМП (6.9.1)-(6.9.5). Эти задачи решаются стандартными методами, изложенными в первой главе.
Цель каждой локальной системы, стоящей на предпоследнем и более высоком уровне, - решение двух основных проблем: с одной стороны, получение оптимального решения по многим показателям, т. е. решение задачи, аналогичной (6.9.13)-(6.9.15), с другой - координация (выработка управляющих воздействий) ЛП, замыкающихся на эту управляющую ЛП, т. е. решение задач, рас-сматриваемых в разделах 2.2-2.5 для двухуровневых ИС.
В соответствии со сказанным для локальной управляющей подсистемы qr-1 e Qr-1, находящейся на (г - 1) e R уровне, и замыкающихся на нее ЛП qrqr-1 = UQ^m г e R уровня векторная задача примет вид:
opt Fqr\'qr-i(Xqr\'qr-i(t)) = {{°pt fk,qr\'qr-l(Xqr\'qr-l(t))\' k = 1, K qr\'qr-i\' (6.9.16)
opt Fqr-1 (^Xqr-1 (t)) = opt fk,qr-1 (-Xqr-1 (t)), k = \\K qM}}, (6.9.17)
Gqr-KXqr-Kt)) < Bqr-1, (6.9.18) Gqr,qr-1(Xqr,qr-1(t)) < Bqr\'qr-i\' (6.9.19)
X^m > 0, Vqr-1 e Qr-1, q^M = 1,0 . Vr, (r - 1) e R. (6.9.20)
Это модель локальной двухуровневой подсистемы, находящейся на предпоследнем и более высоком уровне иерархии. Обозначения аналогичны ВЗМП (6.9.1)-(6.9.5). Эти задачи решаются методами, изложенными в предыдущих разделах этой главы.
Цель многоуровневой ИС направлена на решение тех же двух проблем, что и двухуровневой ИС (6.9.16)-(6.9.20), но решаемых по всем уровням иерархии. В соответствии с этим векторная задача примет вид:
opt Fqr,qr-1(Xqr,qr-1(t)) = {{{{°pt fk\'qr\'qr-l(Xqr\'qr-l(t))\' k = 1, K qr,qr-1},
^г-1=10r,qr-1} qr-1 = 1,0г-1}, Г = 1R }, (6.9.21)
opt Fqr-1 (^Xqr-1 (t)) = {{{opt fk,qr-1(Xqr-1(t)), k = 1, K qr-1},
q,-1 = 10г-1}, г = 1, (R - 1)}, (6.9.22)
^Gqr-1 (-Xqr-1 (t)) < Bqr-1, qM = 10 г-1, г = 1, (R - 1) (6.9.23)
Сф-дглС^гдглСО!) < Bqr\'qr-i\' qr.qr-1 = 1 0 r\'qr-i\' qr-1 = 1\' 0 r-i\'
г = 1R , (6.9.24)
Xqr\'qr-i > 0, qrqr-1 = 10 r,qr-b q,-1 = 10 г-1, г = fR . (6.9.25)
Это модель многоуровневой иерархической системы.
Модель (6.9.1)-(6.9.5) - частный случай этой модели. Обозначения аналогичны ВЗМП (6.9.1)-(6.9.5). Векторный критерий (6.9.21) является критерием функционирования каждой локальной подсистемы, т. е. на его основе решается первая проблема, а (6.9.22) - критерий функционирования каждой из всех двухуровневых ИС, т. е. решается вторая проблема.Если предположить, что известны все коэффициенты критериев и ограничений, то векторную задачу (6.9.20)-(6.9.25) можно решать методами, изложенными в предыдущих разделах (на основе нормализации и принципа гарантированного результата). Но в связи с громадным объемом задачи и полным отсутствием информации о коэффициентах такой путь маловероятен. Наиболее предпочтителен путь, связанный с агрегацией информации (критериев и ограничений) при переходе с уровня на уровень, с использованием композиционных и декомпозиционных методов в задачах децентрализованного управления, изложенных в разделе 2.6.