Риск как несоответствие ожиданиям

Таким образом, каждый результат по каждому допустимому варианту взвешивается по двум критериям. Один дает прогнозную характеристику варианта, а другой - меру возможного расхождения: риск.

Например, в качестве первого критерия может быть среднее значение (математическое ожидание) возможного результата; второй критерий дает его изменчивость (степень риска). При этом, как правило, рискованность варианта возрастает с ростом ожидаемой результативности.

Таким образом, каждый результат по каждой сомнительной альтернативе взвешивается по двум этим критериям. На что решится оперирующая сторона, зависит от ее отношения к риску, от того, в каких пропорциях она готова обменять дополнительные порции риска на дополнительные порции выигрыша. Подробно эти вопросы будут изучаться в разделе, посвященном модели поведения инвестора.

Меры риска

Ответ на вопрос "Что принять за меру риска?" зависит от содержания конкретной задачи, которую решает финансовый аналитик. В приложениях широко применяют различные типовые конструкции, основанные на показателях изменчивости или вероятности сопряженных с риском

состояний.

Так, финансовые риски, вызванные колебаниями результата вокруг ожидаемого значения (например, эффективности) оценивают с помощью дисперсии или ожидаемого абсолютного уклонения от средней.

3.2. Среднеквадратическая характеристика риска

Опираясь на формулы доходности (22), (23), можно понять, что при действии стохастических причин любое ее конкретное значение г является реализацией определенной случайной величины Я. При этом ожидаемый результат оценивается математическим ожиданием Е(Я), а его колеблемость - дисперсией \\ЧЯ).

Чем больше дисперсия (вариация), тем в среднем больше отклонение, ю есп> выше неопределенность и риск. За степень рискованности таких вложений зачастую принимают величину среднеквадратического отклонения а(К)--/^(КУ-

Доходность Я - относительная характеристика. Поэтому для измерения ее риска достаточно ограничиться абсолютным показателем рассеяния а(Я). Этого нельзя сказать об абсолютных характеристиках (доходе, валовом выпуске, цене и Т. д.). Для них в качестве информативной может оказаться такая относительная мера рассеяния, как коэффициент вариации.

Для детерминированной эффективности величина о(Я) равна нулю и вложение становится безрисковым: его эффективность не отклоняется от ожидаемого значения. Использование среднеквадратического отклонения (СКО) в качестве меры риска особенно удобно тогда, когда распределение вероятностей имеет форму колокола. В такой ситуации, аппроксимируя нормальным законом с параметрами Е(Я) и о(Я), мы можем предсказать вероятность любого данного отклонения от ожидаемой доходности.

В самом деле, из теории известно, что для нормального распределения вероятность того, что удаленность от середины не превысит 6, вычисляется по формуле:

Р(|1*-Е<И)|<6)-2Ф(%),

В частности, при 6 = а получим вероятность уклонения в пределах одного СКО:

Р = 2Ф(1),

что в соответствии с таблицей значений функции Ф(х) дает 68% шансов попадания в интервал (Е(Я) ± о).

Пример. Случайная доходность ценной бумаги имеет нормальное распре- X деление с ожидаемым значением Е(1?) = 8% и риском о = 14%.

22% (8 + 14).

Как измеритель риска показатель СКО не делает различия между разнонаправленными отклонениями, будь-то благоприятное (в сторону возрастания доходности) или злонамеренное, при котором полученный результат хуже ожидаемого.

К тли РПШША рлпи иОПпапЛАииа "иУЛП1" П ПО ииод/\'ТЛП\') иоК(Пп.пп111!М1 I

",7 \'\' ¦ ¦ ¦ • • - < -1^1\': -II14\'-\'- ¦ ¦¦[¦1; :: \'..-V (\'^1 .. 11.4 ,

он может воспользоваться модифицированной характеристикой, измеряющей риск только невыгодных значений. В ее основе лежит понятие полудисперсии, которая считается по убыточным уклонениям и обнуляет квадраты всех превышений. В дискретном случае расчет полудисперсии может проводиться по формуле:

где берутся только те значения г5, которые меньше Е(Я).

С формальной точки зрения, к обсуждаемому показателю можно прийти, основываясь на случайной величине:

и(Я) = гшп{Я, Е(Ю}.

С ее помощью полудисперсия получается как усредненное по вероят-ностям значение квадрата разности = и(Я) - Е(Я). Отсюда в случае непрерывного распределения с плотностью /(г) будем иметь следующую формулу:

Е(Н)

У*(Я) = Е(\\У2) - ^(г - Е(К))2/(г)(1г.

~ав

Применяя ее к условиям разобранного выше, примера придем к половинной, по сравнению с вычисленной ранее, вероятности: р* = Ф(1) = 0,34, которая соотносится только с неблагоприятными исходами. Это означает, что имеется 34% шансов того, что фактический результат будет находиться в интервале минус одно СКО от ожидаемого значения Е(Я), то есть от -6% до 8%.

Таким образом с вероятностью 0,34 ценная бумага даст разочаровы-вающий результат, который хуже среднего.

Как видно из формулы дисперсии У(Я) = Е[Я - Е(Я)]2, она не дает полной картины линейных уклонений Д(Я) = Я - Е(Я), более наглядных для оценивания рисков.

Тем не менее задание дисперсии позволяет установить связь между линейным й квадратичным отклонениями с помощью известного нера- Чебышева

Вероятность (Вер) того, что случайная величина отклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный допуск 5, не превосходит ее дисперсии, деленной на Ь2.

Применительно к случайной эффективности К можно записать:

Вер(!11-Е(Ю|>6)*-^>. (31)

Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратичному отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки Я с большой вероятностью будут располагаться внутри 6-окрестности ожидаемого значения Е(Я), то есть линейные уклонения в среднем уменьшаются по мере уменьшения квадратичных уклонений.

Пример. Сравним по риску вложения в две акции: А и В. Каждая из них

по-своему откликается но возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности.\r\n Ситуация 1 Ситуация 2\r\n вероятность доходность вероятность доходность\r\nА 0,5 20% 0,5 10%\r\nВ 0,99 15,1% 0,01 5,1%\r\n

Выбранные акции таковы, что имеют одинаковую ожидаемую доходность: еА = 0,5 х 20 + 0,5 х ю = 15%, ев = 0,99 х 15,1 + 0,01 х 5,1 = 15%. Измерим риск отклонением по абсолютному значению разницы между "фактом" и ожиданием.

Найдем эти отклонения: ДА| = 20 - 15 = 5%, Дд2 = 15 - 10 = 5%, ДВ1 = 15,1 - 15 = 0,1%, Дв2 = 15 - 15,1 = 9,9%.

Оценивая ожидаемый риск средним абсолютным отклонением, получим его меру для каждой акции: еА = 5%, ев = 0,99 х 0,1 + 0,01 х 9,9 = = 0,198%. Измеряя изменчивость среднеквадратичным отклонением, придем к следующим мерам рисков:

оА = -у/0,5х52 + 0,5х52 = 5%, ов - ^0,99 х (0,1)2 + 0,01 х (9,9)2 - 0,995%.

Из сопоставления всех найденных значений видно, что превышение риска по активу А сохраняется независимо от способа измерения Е и о, то есть данные меры изменчивости взаимно согласованы.

3.3. Риск разорения

Особый вариант риска связан с разорением. В общем случае этот риск порождается такими большими "минусовыми" отклонениями (Я < Е(Я)), которые не оставляют инвестору возможность их компенсировать. Попробуем определить вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.

пример Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом.

следующей таблицей.\r\n Исход 1 Исход 2\r\n вероятность доходность вероятность доходность\r\nА 0,2 5% 0,8 1,25%\r\nВ 0,2 -1% 0,8 2,75%\r\n

Согласно этой таблице доходности акций, в отличие от предыдущего примера, однозначно определяются состояниями рынка, реализованными с заданными вероятностями (pi = 0,2; р2 = 0,8). Прослеживая по таблице отрицательную связь между эффективностями, можно утверждать, что коэффициент корреляции од g = - 1. В рассматриваемом случае ожидаемые доходности акций совпадают: еА = 5 х 0,2 + 1,25 х о,8 = 2%, eR = о х 0,2 + 2,75 х о,S = 2% и дисперсии (квадратичные характеристики рисков) также совпадают: VA = (5 - 2)2 х 0,2 + (1,25 - 2)2 х 0,8 = 2,25, VB = (-1 - 2)2 х 0,2 + (2,75 - 2)2 х о,8 = 2,25. Заодно можно убедиться, что коэффициент корреляции = Е(ГАгв)-ЕДев _ 0,2 X 5(-1) + 0,8X 1,25 х 2,75 - 2 х 2 _ ЛВ = Од ов " y[2a5y[205

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 1,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям, которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако, если инвестор вложит деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (5 - 1,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (1,25 - 1,5) = - 0,25%, причем с вероятностью р2 = 0,8. Напротив, если он вложится в актив В, то разорение ему грозит с вероятностью Р| = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 1,5) = - 2,5%.

Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В соответственно:

ПА = 0,8 х 0,25 = 0,2; Пв = 0,2 х 2,5 = 0,5.

Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при приобретении акций А будут больше (0,8 > 0,2). Это превышение возможности банкротства должно отпугивать осторожного вкладчика, который к тому же "играет" на заемном капитале, от акций А в пользу бумаг В.

В свою очередь, ожидаемый риск Пд < Пв склоняет его к выбору в пользу акций А.

Сравнивая в описанных примерах ситуации, полезно отметить, что при равенстве ожидаемых значений доходности, дисперсий и при отсутствии coGciвенных средств риск разорения может быть различным.

При.\\-.ср Продолжим пример и рассмотрим два способа снижения риска разорения\' разделение вклада по вложениям (А и В) и разделение капитала || по источникам (собственный и заемный).

Диверсификация вложений. На такую возможность снижения риска указывает наличие полной отрицательной корреляции од в = - 1. Эта отрицательная связь обусловлена противоположными реакциями активов А и В на возможные исходы: при изменении рыночной ситуации проигрыш по одной из бумаг смягчается выигрышем по другой. Отсюда появляется возможность такого комбинирования активов, при котором дос- ниаемаи доходное IL смеси независимо от исхода будет достаточна для погашения взятого кредита.

Пусть хд, хв - доли вложений в акции А и В, хд + хв = 1. Доходность смеси:

R = XARa + XBRB = XARA + (1 - xA)RB, где Яд, RB - случайные доходности акций А и В. Очевидно, что ситуаци-онные доходности смешанного вклада равны: для первого исхода

Г| = 5%xA + (1 - хА)( - 1%), и для второго исхода

r2 = 1,25%хд + (1 - Хд) х 2-,75%.

Отсюда придем к условиям гарантированного неразорения: г, -6хА -1 >1,5, \' г2 - 2,75 -1,5хА > 1,5.

Решая эту систему неравенств, получим: 0,42 < хА < 0,83.

Выбирая пропорции хд, xg — 1 - хд в соответствии с найденным диапазоном, инвестор полностью исключает риск разорения.

Более того, полная обратная корреляция активов (одв = - 1) позволяет распределить вложения таким образом, чтобы получить безрисковую по среднеквадратической характеристике комбинацию, то есть комбинацию с детерминированной эффективностью (о2(Я) = 0). В самом деле, с учетом одв = - 1, Од2 = ов2 = 2,25 и по правилам теории вероятностей дисперсия эффективности смеси:

о2(Я) = ХА2Оа2 - 2хАхвоАов + хв2ов2 = 2,25(хА - хв)2.

Таким образом, выбирая х*. = хг» = 1/2, то есть вкладываясь в каждый актив половиной капитала, инвестор добивается детерминированной до-

илппллти г ~ нтл ппилппририип 1лКюпарт РГЛ \\л лт пилуа потпеима

1 4./У} « « Ч^А-М II IV ««I V Ч V«

Диверсификация капитала. Риск разорения можно также снизить, уве-личивая в "единичном" вкладе долю собственных средств. Обозначим эту долю через Очевидно, что выплаты процентов по долгу при наличии собственных средств # уменьшатся по сравнению с их отсутствием (Ф = 0) на величину, определяемую произведением ставки процента на

Снижение этих выплат сужает условия разорения: риск разорения отменяется, если доход инвестора от акции перекроет объем задолженности. Так, если

101,25% а 101,5% (1 - в-), то есть при д 2 0,0025 элиминируется риск по акциям А. Аналогично, чтобы гарантированно исключить риск разорения от приобретения акций В, доля собственных средств О- должна удовлетворять условию:

99% г 101,5% (I - в-), то есть & г 0,0246, что вдесятеро превышает требования к собственному капиталу по сравнению с вложением в акции А.