3.1. Риски и их измерители

Как и в общей схеме исследования операций для задач, решаемых участниками финансового рынка, можно выделить контролируемые и неконтролируемые (неподвластные оперирующей стороне) факторы.

Среди последних, в зависимости от информированности о них, различаются неопределенные и случайные. При этом к случайным параметрам относятся те, относительно которых известны необходимые для описания случайных величин (случайных процессов) характеристики: законы распределения или, по крайней мере, их первые моменты - математические ожидания и дисперсии.

Для неопределенных факторов вероятностные суждения о них полностью отсутствуют; в лучшем случае предвидения оперирующей стороны о возможных последствиях подкрепляются знанием диапазонов численных значений влияющих переменных.

Поясним сказанное на примере будничной задачи пассажира метро, следующего со станции А на станцию В, имеющую два выхода в город: по ходу поезда - выход С и от хвостового вагона - выход D. Обозначим длину платформы через f и пусть для определенности учреждение F, в которое спешит наш пассажир, расположено ближе к выходу D. Рационализируя свое поведение, гражданин старается угадать место посадки так, чтобы по прибытии на станцию В оказаться ближе к пункту назначения F.

Очевидно, что при полном знании он сядет в последний вагон. В общем случае пассажир-"оптимизатор" стремится занять положение х (считая от D), экономящее его путь по станции В до требуемого выхода.

min {max(x, ^ - х) | 0 s х <; \r\n

Тогда его выбор, как легко понять из рис. 18, определится условием л — х. \r\n

Рис. 18. Графическое решение минимаксной задачи

х

\r\n

\r\n

На этом графике ломаная ABC

При вероятностном знании (случайность) мнения пассажира о том, какой из выходов выгоднее, - будут различны. Здесь разница проявляется через значение вероятностей (весов) р и q его противоположных суждений о том, к которому выходу будет ближе F. Пусть р - вероятность того, что F ближе к D, а q - вероятность альтернативы (р + q = I). В этом случае риски х, е- х уже неравнозначны, а взвешиваются с вероятностями р и q, то есть задача пассажира примет вид:

min {max(px,q(^ - *)/0s*s^

а ее решение находится из уравнения: рх = ф- х), то есть х = q/; е- х = рк

Таким образом, чтобы определиться с расстоянием х на станции отправления А, пассажиру следует разделить протяженность ^"обратно пропорционально известным ему вероятностям р и q. Например, при р = 4/5 избегающий риска пассажир, сообразуясь с этой вероятностью, займет место х = f/S.

В качестве финансовой аналогии рассмотренного выше можно привести, например, задачу о диверсификации единичного вклада по двум депозитам: рублевому и в валюте.

Наращенная сумма такого вклада на конец периода начисления, скажем года, запишется в виде:

S-x0(l + r) + ?^x(l + d)K,.

В этой формуле г и с1 - процентные ставки по рублевому и валютному депозитам; Ко, К( - курс доллара к рублю в начале и конце периода; дробь хо определяет пропорцию, в которой вклад разделяется на рубле-

П1Г1Л и УЮ Ц/1Г>"Р"

Согласно принятым обозначениям х0 - доля рублевого вложения; остаток (1 - хо) вкладчик конвертирует в доллары и помещает на валютный депозит. В конце срока с помощью обратной конвертации по курсу К] валюта переводится в рубли и итоговая рублевая наличность определяется суммой 8. Очевидно, что для вкладчика важно определить пропорцию Хо наилучшим, в смысле приумножения своего богатства, образом.

П\'^.\'ЛТ!» ^Л/П\'./!!!!.!!^ «ил {потлп I пп 1/Апаи л«л/м/о паппоито^ 1лплл_

. ,— "" " — -Н"-"-

тен. Тогда задача становится элементарной. Депозиты будут равновыгодны, если множители наращения (1 + г) и К,(1 + с1) совпадают. В этом

К„

случае депозитное вложение доллара с предварительной конвертацией и без нее дает одинаковый результат, то есть К0(1 + г) = К|(1 + с!).

При нарушении этого условия в пользу рубля (рублевый депозит вы-годней) курс К) будет меньше величины

К 1,(1 + г)

и -

(1 + 11)

и все нужно хранить в рублях (хо = 1); наоборот, при К1 > а выгодным становится валютный вклад: его-то и следует использовать (хо = 0).

В реальности будущий курс валюты точно неизвестен. Он может быть задан коридором возможных значений (К( е [а, Ь]), с наличием вероятностных характеристик или без них. Заметим, что диапазонную неопределенность при необходимости можно смоделировать вероятностной, рассматривая величину К| как случайную и равномерно распределенную в интервале (а, Ь).

Рассмотрим задачу инвестора как игру с природой, которая может назначать доллару любой курс К; в заданном промежутке [а, Ь].

Здесь можно выделить два крайних случая, когда неопределенность снимается. Очевидно, что если Ь < а, то К|(1 + <1) < К0(1 + г) при всех возможных вариантах реализации неопределенности К,е[а,Ь], и тогда следует использовать только безрисковую компоненту (х0 = 1).

В случае, когда а > а (то есть при самом неблагоприятном для валютного депозита курсе К| = а он все равно выгоднее), оптимальным объектом вложения становится рисковый актив (х0 = 0).

Для промежуточного варианта, когда а е [а, Ь], доходность сравниваемых активов зависит от того, в каком из двух диапазонов 1| = [а, а] или Ь = [а, Ь] окажется значение курса К|. Чтобы смягчить проигрыш, который дает однородный вклад в случае ошибочных предсказаний, це \r\nлесообразно его диверсифицировать по двум депозитам. Как выбрать наилучшую пропорцию XQ смеси?

Очевидно, что доходность комбинированного вклада будет ниже, чем для оптимальной чистой стпатегии (заранее неизвестной), но выше доходности ошибочной чистой стратегии. Так, при К, el, риск смешанной стратегии определяется ее проигрышем по сравнению с наращением на рублевом депозите (хо = 1). Отсюда и из формулы для наращения S найдем величину недобора:

F(x0,K,Gll) = (l + r)-S = 1^-(1-x0)(K11(l + r)-K,(l + d)).

Аналогичная формула возможных потерь в случае К,е12 имеет вид:

F(x0,K,eI2) = J-x0(K,(1 + d)-K0(1 + r)).

К»

Допустим, что осторожный инвестор, желающий обеспечить себе твердый доход, придерживается критерия минимизации наибольшего из этих двух рисков. Математически это означает, что он решает следующую минимаксную задачу:

min mux |F(X(1,К, eI,),F(x0,K., el2)}.

Очевидно,что

F(x0) К, el,) s F(x0,a), F(x0, K, el2) s F(x„, b)•

Таким образом, задача свелась к определению оптимального значения х0 из условия:

min max {F(X„, a), F(x0, b)}>

xo

и уравнение F(x0, a) = F(x0, b) для определения наилучшей пропорции Xq примет вид:

(1 - х0)(К„(1 + г) - а(1 + d)) - x0(b(1 + d) - K„(l + г)) •

Откуда после очевидных упрощений найдем формулу оптимальной (в смысле минимакса) пропорции:

а - а

х0-т

b - а

Как следует из приведенных выше неравенств, это решение дает гарантированный результат, то есть независимо от варианта реализации неопределенности Кх е[а,6] потери заведомо не превысят минимаксного значения рисков.

В качестве примера возьмем следующий набор исходных данных:

= 6000 и оптимальная про

Ко = 5500; г « 0,2; d = 0,1, и пусть годовой прогноз инвестора для возможных значений будущего курса К] ограничивается вилкой неопределенности: а = 5600, Ь = 6100. \r\n

5500 х 1,2

При этих условиях параметр а = \r\n

\r\n6000 - 5600 6і00 - 5600

порция примет значение х„ =

= 0,8, то есть 80% рублевой на \r\n

\r\nличности надо разместить под ставку г = 0,2, а остальные 20% следует конвертировать в доллары и положить на валютный депозит.

Задачу о депозите можно продолжить, заменив неопределенность вероятностным описанием курса К/. Подобная постановка нам еще встретится при изложении общей задачи об оптимальном портфеле, поэтому здесь мы ее рассматривать не будем.

Отмеченная выше разница между риском и неопределенностью относится к способу задания информации и определяется наличием (в случае риска) или отсутствием (при неопределенности) вероятностных характеристик неконтролируемых переменных. В упомянутом смысле эти термины употребляются в математической теории исследования операций, где различают задачи принятия решений при риске и соответственно в условиях неопределенности.