Продуктивные модели Леонтьева

Матрица .4. все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной. если для любого вектора у с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (2.8) — вектор л, все алименты которого неотрицательны В таком случае н модель Леонтьева пазы- иа стся пруду ктн вной -

Для уравнения типа (2 8) разработана сооіі иегстиуюшая ма тема гм четкая теория исследования решения и его особен постен.

Перепишем систему (2.8) с использованием единичной матрицы Е в виде

называется матриц) и пичючХ латрпт.

( у шествует несколько критериев продуктивности матрицы 4. Приведем два из них.

1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица

\' существует п ее элементы неотрицательны,

2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов но любому ее столбцу (строке) нс превосходит единицы:

причем котя бы для одного гтотбца (строки) лта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева н.> несложных примерах

Пример 1. В табл. 2 А прицелены дан шле но балансу да некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти век- горы конечного потребления н ваді о ною выпуска, а также матрицу ко іффициеіпов прямых ааірат и омрелелпть.

Таблица 2.1

Решение. В табл.

Все элементы матрицы Л положительны, однако нетрудно влдт. что их суммы и греп.еч и чг гвергом столбцах больше единицы. Слслогш течыю, условия второго критерия продуктивної 1 и не Собчюденм,

л мсфНиаЭ не ниляМгя ||]кщи9Гми|ши. Экономическая причина згой ненрпдлктивнпем! заключается и том. ч№ внутреннее потребление

птр^\'.тен 3 м 1 и.\'мм1!Кпл1 велико и сиШноте........... С их вяливмчн шли ус

нами.

Пример 2. Таблица 2.5 содержит данные он мисд |ре ограс\'Н\'и про- мышаимш гн за некоторый период времени. Требуется илмтм нот,ем патового выпуска каждого ни да продукции, если конечное пофелле- нне но отраслям у не точить. соответственно, ю СО. 70 и 50 условных денежных единиц.

Решении Выпишем векторы валовою выпуска и конечною потепления и матрицу кпзффнцнептон прямых зарраг. Согласии формулам (2 5) н (2 7У имеем:

Мдірі та 3 уловлеїиоряеі обоим критериям продуктовірости. Li случае заданного увеличения конечного потрсолення новый вектор конечного продуKT.1 (Суді і ІІМЄТТ. НМД

Требуется найти новый ветлор валовою выпуска Т., удовлетворяющий соотношениям баланса к предположении то матрона ,4 не измени мтя. В гаком случае комп о не н гы т,. др, г, цент вес тою вектора д находятся из системы уравнении. которая в матричной форме имеет глуитснций вид:

Мафії і іа .тічіі\'і системы

Решение системы піненім,і урлвтчпіп (1! ІЗ) мри ладЯпнпм исгтире правої! части (2 12) (папргглі р.

Таким образом. для гот чтобы обеспечить ладанное увеличение компонент пек гора конечного и род VII га. пуфбтндимп унед мчи IЬ спот встгг- вующие валовые взапуски: (обычу и иерерабо! ку I л е нодородна на У/,,2 "|, уронен ь дне рте (I не и — на 3.4,8% и выпуск мант поп роения —

на 85 % — но сравнению с исход..... ми нем мчи нами, укачанными в

табл 1С-5.

Упражнения

2.1. По [21ПП.1М табл. 2.1 составить покую таблицу и реп и ноле гаем ио-акиномцарских показателей нн следующим условиям:

— количество н пелин всех штамп увеличивается на 20%;

— норма времени 11.яо1ивлеш]н повеем изделиям ^йменынлцоЗД на 20 %;

— цена на нее виды пав лип укн пыпЬегся на 10 %

Нан гн ежесуточные показа]ели. > казанные п задаче 1 из 2.1. и также их процентные изменении.

2.2. Пн лаптам гвб» ч 2.2 сое гатит\' ь шжуш таблицу пн следуюшим условиям:

— дневная и роил подите, и, и ист в всех предприял 1 ■ м унеличипастги на 1 ГЮ \'-\'а,

— числе» рабочих .ик и в юлу дли 1-о» предприятии увеличивается на 50 %, а для осл.1ЛЫ1ых — ни 1(1 %,

— день] па виды сырья уменьшаются Гонтвле! иешт, на 10. 20 и 8(1 п... Определи п. суммы финат-прОпанни пре трои : он м их сот вел сын и>- щне процентные I сменен ни

И,ш 1м вектор объемгщ конечного продукта, предназначенного для реализации вис отрасли

2Л. Предприятие выпуска*! фи вида урндукшт с использованием грех видов сырья, характеристики пропало [(\'Ли укачаны в Таблице.

Нант объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырая.

2.5. В с.\'юинях примера 2 из 2.3.3 определить прирост объемов вало вых выпусков по каждой (тфвгвлн (в процентах), если конечное потребление1 увеличить по отраслям, сгнлветсгнетю, пй 30, 10 и 50%. Решить задачу методом обратной матрицы н методом Гаусса.