Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции.

Пусть функция f (х) имеет в точке хо конечную производную f\'(хо). Тогда, если f\'(хо) > 0, то f (х) возрастает в точке хо (то есть для значений X из некоторой окрестности Хо выполняются условия: если X < Хо, то f (х) < f (Хо), если X > Хо, то f (х) > f (Хо)); если f\'(Хо) < о, то f (х) убывает в точке Хо (то есть для значений х из некоторой окрестности Хо выполняются условия: если Х < Хо, то f (х) > f (Хо) , если X > Хо , то

f (х) < f (хо)).

Доказательство.

По определению,

f\'(хо) = iim ^ = iim f (х) - f (Хо).

AX ® о AX х ® хО х - хо

Рассмотрим случай f\'(хо) >о.

Таким образом, существует окрестность точки Хо, в которой верно неравенство

f (х) - f (хо) > о X - X о

что означает справедливость следующих соотношений:

f (х) - f (Хо ) > о при х > Хо, f (х) - f (Хо ) < о при х < Хо, то есть функция f (х) возрастает в точке Хо. Случай f\'(хо) < о рассматривается аналогично. Теорема доказана. ?

<< | >>

↑

Источник: Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография. - Липецк: ЛЭГИ,2004. - 148 с.. 2004

Еще по теме Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции.:

- Инвестиции - История экономики - Основы экономики - Платежные системы - Политэкономия - Рынок ценных бумаг - Ценообразование - Эконометрика - Экономика предприятия - Экономическая теория - Экономический анализ -