Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе

Теперь мы выведем некоторые зависимости между критерием ? для коэффициента R2, критерием t для коэффициента при х и критерием t для коэффициента корреляции между х и у в парной регрессионной модели.

t-тестдля коэффициента корреляции

В разделе 1.8 мы определили выборочный коэффициент корреляции для двух переменных х и у:

Cov (х,у)

(3.65)

f              5g              . ,              ¦              -              -              -              .              ¦              \'

,у 3/Var(x)Var(y)

Даже если переменные х и у вообще не коррелированы и теоретический коэффициент корреляции р равен нулю, вы будете связаны известным ограничением и неизбежно получите в расчетах некоторую величину выборочного коэффициента корреляции. Для конкретной выборки г может точно равняться нулю только чисто случайно, и можно ли утверждать, что значение г действительно указывает на наличие зависимости, или же оно появилось случай-

но?

Как обычно, ответом будет формулирование нулевой гипотезы о том, что зависимости нет, а затем — попытка ее опровергнуть. Для проверки гипотетической линейной зависимс?ртспяежду х и у, т. е. единственного типа зависимости, который будет рассматриваться в данной книге, справедлива следующая процедура.

Первый шаг состоит в вычислении /-статистики для г:

(3.66)

Выбрав уровень значимости, скажем, в 5%, вы находите критическое значение /с (« — 2) степенями свободы. Если величина / превышает его критическое значение (в положительную или отрицательную сторону), вы отклоняете нулевую гипотезу о том, что р = 0, и заключаете, что нашли линейную зависимость (положительную или отрицательную).

Доказательство этого вам уже знакомо.

Возможно, что риск допущения такой ошибки в 5% случаев слишком велик для вас. Тогда вы можете сократить степень риска, осуществляя расчеты при уровне значимости в 1%. Критическое значение / теперь будет выше, чем до сих пор, поэтому вам потребуется более высокая (положительная или отрицательная) /-статистика для отклонения нулевой гипотезы, а это означает, что вам потребуется более высокое значение г.

Обоснованность этого /-теста зависит от того, удовлетворяют ли у их некоторым условиям. Достаточно будет, чтобы величина у была связана с величиной х с помощью модели парной регрессии рассматриваемого типа. Данный тест справедлив только для нулевой гипотезы об отсутствии зависимости. Если вы хотите проверить гипотезу о том, что теоретический коэффициент корреляции вместо нуля равен некоторому другому значению, то должны будете использовать более сложную процедуру.