Зависимость между критериями

Мы увидим, что в случае парного регрессионного анализа (и только парного регрессионного анализа) /-критерий для гипотезы pXJ,= 0, F-критерий для коэффициента Л2 и /-критерий для гипотезы р = О эквивалентны друг другу.

В разделе 2.7 было показано, что коэффициент/?2 может интерпретироваться как квадрат коэффициента корреляции между ? и у, то есть г2~ . Теперь, в случае парной регрессии, у является линейной функцией х, поэтому коэффициент корреляции между У іл у должен совпадать с коэффициентом корреляции между х и у, то есть с г (см. упражнение 1.5). Следовательно, в парном регрессионном анализе (и только в парном регрессионном анализе) /?2 должен быть равен квадрату коэффициента корреляции между х и у. Мы докажем это, непосредственно начиная с уравнения (2.46), т. е. с определения коэффициента /?2:

2 _              =              Ь^уафс)              ,

Var(y) Var(y) ’              (J b/)

поскольку Var (?) = Var (a + bx) = A2 Var (x). Делая замену для b, получим:

p2 _ f COv(x, y)l2 Var(x) = Cov(x, y)1

I Var(x) J Var(y) Var(x)Var(y) ‘              \' \' \'

Из уравнений (3.61) и (3.66) можно видеть, что F-статистика для коэффициента /?2 является в точности квадратом /-статистики для г . Как и следовало ожидать, критическое значение F будет равно квадрату критического значения /-статистики при любом уровне значимости, и эти два теста всегда дают один и тот же результат. Другими словами, коэффициент корреляции между х и у будет указывать на значимую зависимость, если и только если уровень R2 в регрессии между у их будет говорить о такой зависимости.

Более того, можно показать, что величина b будет значимо отличаться от нуля при использовании /-теста, если и только если F-тест значим при данном уровне значимости. Используя тот факт, что Var(?) равняется Zgt;2Var(x), и оба определения коэффициента R2 в уравнениях (2.46) и (2.47), мы можем переписать выражение для стандартной ошибки величины b:

/1Л I Var (е)              .1 Var(e) , I 1 - R2 ,              1              -/?,

СО() V(«-2)Var(x)              V(«-2)Var(?)              \\(„-2)R2              \\(п-2              )r2/              (169)

Следовательно, и мы показали, что /-статистика для проверки гипотезы р = 0 такая же, как и /-статистика для проверки гипотезы рхgt;=0.

b              I              n-2

с.о.(Ь) = Гх’^і-гІу’

Таким образом, при наличии только одной независимой переменной /-критерий для гипотезы Р = 0, /-критерий для гипотезы pXJ, = 0 и .F-критерий для коэффициента R2 эквивалентны. Как мы увидим далее, при использовании более одной независимой переменной это утверждение перестает быть справедливым.

Упражнения

23. Проверьте, что F-статистика в регрессии, оцененной вами в упражнении 2.4, равняется квадрату /-статистики для коэффициента b и что критическое значение F при уровне значимости в 1% равняется квадрату критического значения /.
24. В упражнении 2.6 оба исследователя получили для своих регрессий значения коэффициента R2, равные 0,79. Было ли это совпадением?

4