Влияние увеличения размера выборки на точность оценок

Будем по-прежнему предполагать, что мы исследуем случайную переменную х с неизвестным математическим ожиданием р и теоретической дисперсией а2 и что для оценивания р используется х.

Ответ неудивителен: при увеличении и оценка х, вообще говоря, становится более точной. В единичном эксперименте большая по размеру выборка необязательно даст более точную оценку, чем меньшая выборка, — всегда может присутствовать элемент везения, — но общая тенденция должна быть именно такой. Поскольку дисперсия х выражается формулой а2/и, она тем меньше, чем больше размер выборки и, значит, тем сильнее «сжата» функция плотности вероятности ДЛЯ х.

Это показано на рис. 0.11. Мы предполагаем, чтох нормально распределена со средним 25 и стандартным отклонением 50. Если размер выборки равен 25,

то стандартное отклонение величины х, равное о / 4п , составит: 50 / gt;/25 = 10. Если размер выборки равен 100, то это стандартное отклонение равно 5. На рис. 0.11 показаны соответствующие функции плотности вероятности. Вторая (и = 100) выше первой в окрестности |1, что говорит о более высокой вероятности получения с ее помощью аккуратной оценки. За пределами этой окрестности вторая функция всюду ниже первой.

Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для х. Если п становится действительно большим, то график функции плотности вероятности будет неотличим от вертикальной прямой, соответствующей х = р. Для такой выборки случайная составляющая х становится действительно очень малой, и поэтому х обязательно будет очень близкой

к р. Это вытекает из того факта, что стандартное отклонение х, равное о / Jn , становится очень малым при больших п.

В пределе, при стремлении п к бесконечности, о / 4п стремится к нулю и х стремится в точности к р. Это можно записать математически:

Функция плотности вероятности

Рис. 0.11. Влияние увеличения размера выборки на распределение х.

Нтх = ц.              (0.33)

я -»~

Эквивалентный и более распространенный способ описания этого факта предлагает использование термина plim, где plim означает «предел по вероятности» и подчеркивает, что предел достигается в вероятностном смысле:

р1ітх = ц,              (0.34)

когда для любых сколь угодно малых є и 5 вероятность того, что х отличается от р больше, чем на є, будет меньшей 5 при достаточно большом размере выборки.