Тест Чоу

Иногда выборка наблюдений состоит из двух или более подвыборок, и трудно установить, следует ли оценивать одну объединенную регрессию или отдельные регрессии для кажцой подвыборки.

Предположим, что имеется выборка, состоящая из двух подвыборок, и что возникает вопрос, следует ли объединить их для оценивания общей регрессии Р или оценить отдельные регрессии А и В. Обозначим суммы квадратов остатков для регрессий подвыборок UA и Ug. Пусть Uf и и/ — суммы квадратов остатков в объединенной регрессии для наблюдений, относящихся к двум рассматриваемым подвыборкам. Так как отдельные регрессии для подвыборок должны соответствовать наблюдениям по меньшей мере так же хорошо, если не лучше, чем объединенная регрессия, то UA lt; Uf и UBlt; Uf. Следовательно, (UA + UB) lt; Up, где общая сумма квадратов остатков в объединенной регрессии Up равна сумме Uf и Uf.

Это поясняется на рис. 9.6. Предположим, что имеются данные временного ряда по двум переменным и что в период выборки произошло структурное изменение, разделяющее наблюдения на подвыборки А и В. На рис. 9.6Б регрессии для подвыборок обеспечивают вполне адекватное соответствие данным, обусловливая низкие значения UAu Up Если бы требовалось оценить объединенную регрессию, как на рис. 9.6А, то остатки в обеих подвыборках в целом были бы значительно больше.

Равенство между Upn (UA+ UB) будет иметь место только при совпадении коэффициентов регрессии для объединенной регрессии и регрессий подвыборок.

А              Б

Теперь мы можем определить, является ли значимым улучшение качества уравнения после разделения выборки. Для этого используется /-статистика:

Улучшение качества уравнения/ Использованные степени свободы

Необъясненная дисперсия / Число остающихся степеней свободы              =

(UP-UA-UB)/(k + 1)

" (UA + UB)/(n-2k-2)’              (9.42)

которая распределена с (k+ 1) и (п — 2к — 2) степенями свободы.

Теперь, например, давайте вернемся к случаю парной регрессионной зависимости веса новорожденных от интенсивности курения их матерей, и пусть мы еще не решили, следует ли объединять подвыборки, включающие 584 матери, которые ранее не рожали, и 380 матерей, которые ранее рожали. Оценивание объединенной регрессии и регрессий для подвыборок дает результаты, показанные в таблице.

Соответствующая /-статистика, следовательно, равна:

(158,6-91,2-63,5)/2 F~ (91,2+ 63,5)/960 ~12’1              (9-46)

Критическое значение / с 2 и 960 степенями свободы составляет 6,91 (при уровне значимости в 0,1%), поэтому мы делаем вывод, что не следует оценивать объединенную регрессию.

Регрессии для подвыборок идентичны регрессиям, представленным соотношениями (9.36) и (9.37), и это не простое совпадение. В основной регрессии

35. составляющая, не связанная с фиктивной переменной, включает постоянный член и показатель зависимости от интенсивности курения. К этому добавляются фиктивная переменная, позволяющая различать значения постоянного члена для первенцев и детей, родившихся не первыми, и фиктивная переменная для коэффициента наклона, также позволяющая различать коэффициенты при показателе интенсивности курения для двух рассматриваемых подвыборок. Следовательно, в (9.35) мы не задаем заранее какой-либо коэффициент одинаковым для обеих подвыборок и, таким образом, получаем такие же оценки коэффициентов, как и в отдельных регрессиях для подвыборок.

Рассматривая лишь соотношение (9.35), мы можем проверить, оправдана ли эта гибкость, выяснив, вносят ли указанные фиктивные переменные как группа значимый вклад в объясняющую способность уравнения. Сумма квадратов остатков, если фиктивные переменные не включены в уравнение, составляет 158,6 х 106, а когда они включены в уравнение, эта сумма равна 154,7 х 10б. Следовательно, /"-статистика для проверки объясняющей способности фиктивных переменных как группы имеет вид:

(158,6 -154,7) /2

154,7 / 960              ”              \'9\'47gt;

т. е. она в точности такая же, как в тесте Чоу.

Можно показать, что это общий результат. Выбор между использованием рассмотренной процедуры теста Чоу или оцениванием сложной регрессии с фиктивными переменными на основе соотношения (9.35) будет зависеть от целей, которые ставит перед собой исследователь. Тест Чоу выполняется быстрее, и он достаточен, если требуется только установить, что зависимости в подвы- борках в некоторой степени различаются. Оценивание регрессии с фиктивными переменными более информативно в том отношении, что оно позволяет выполнять /-тесты с рассмотрением вклада каждой фиктивной переменной, а также всей группы в целом и может привести к компромиссу, в котором исследователь предполагает, что некоторые коэффициенты одинаковы в обеих подвыборках, и использует фиктивные переменные для дифференциации значений остальных коэффициентов.

Упражнения

11. Выполните тест Чоу, чтобы определить, имел ли место структурный разрыв зависимости расходов на автомобили от располагаемого личного дохода в 1973 г., используя данные табл. 9.2.
12. Исследователь, интересующийся воздействием особенностей национальной культуры на структуру потребления, предлагает 20 малайским, 20 китайским, 20 индийским и 20 другим семьям, живущим в Куала-Лумпуре, подробно записывать свои расходы на продукты питания в течение одного года. Кратко опишите преимущества и недостатки оценивания одной функции спроса, описанной уравнением с фиктивными переменными, для всех 80 семей в сравнении с оцениванием четырех отдельных уравнений для различных этнических групп.

Приложение 9.1

Качественные зависимые переменные

Может случиться так, что переменная, детерминанты которой требуется исследовать, является качественной по своему характеру. Например, в нашем исследовании в области акушерства можно рассмотреть вопрос оценки факторов, приводящих в критических обстоятельствах к необходимости родоразреше- ния путем кесарева сечения. Наша цель заключается в уменьшении частоты проведения такой операции, что важно само по себе и для снижения расходов на специальное оборудование для ухода за младенцами и т. д.

Упрощенный способ рассмотрения этой проблемы заключается в определении зависимой переменной emsec как фиктивной переменной и в оценивании регрессии обычным способом. Например, мы можем считать emsec равной единице, если родоразрешение проводилось путем кесарева сечения, и равной нулю, когда роды были нормальными. Используя данные о 964 родах, мы получаем следующий результат:

етamp;с = 0,08 — 0,08/) + 0,01old + 6,61 short + 0,05heavy —

- 0,02class + 0,01 UM+ 0,0018 x,              (9.48)

где D — фиктивная переменная числа родов в прошлом (значение 1 — если мать рожала раньше, значение 0 — в других случаях); old — фиктивная переменная возраста (1 — когда матери 36 или более лет, 0 — в других случаях); short — фиктивная переменная роста матери (1 — если мать находится в низшем квинтиле по росту, т.

Последние три переменные представляют интерес для социальной политики; остальные включены в уравнение, потому что, как известно, они имеют отношение к частоте проведения операции кесарева сечения, и если они не будут включены, это может привести к смещению оценок коэффициентов регрессии.

Прогнозируемое значение emsec для любого наблюдения показывает вероятность родоразрешения путем кесарева сечения, если даны значения параметров в правой части уравнения. Коэффициент при каждой переменной увеличивает вероятность кесарева сечения для матери с соответствующим параметром. Например, эта вероятность на 8% ниже для матерей, которые рожали ранее, по сравнению с матерями, которые ранее не рожали.

Недостатки линейной вероятностной модели, как известно, связаны с тем, что ее случайный член не удовлетворяет обычным предположениям. В частности, он не распределен нормально, поэтому нельзя выполнить обычную проверку значимости. Кроме того, он может привести к появлению прогнозируемых значений зависимой переменной больше единицы или меньше нуля, что невозможно.

Для преодоления этих трудностей разработано несколько статистических методов, аналогичных методам построения линейной вероятностной модели, но основанных на других принципах. Возможно, наиболее широко известным из них является логит-анализ, основанный на методе максимального правдоподобия. Рассмотрение этого метода выходит за рамки данной книги, и достаточно отметить, что его возможное использование на практике во многом Совпадает с практическим применением регрессионного анализа.

В рассматриваемом примере логит-анализ дает следующий результат (в скобках приведены /-статистики):

етamp;с = Константа — 0,11D + 0,1 lold + 0,05short + 0,05heavy —

(О              (-4,61)              (3,46)              (2,45)              (2,27)

- 0,02с/lt;ш + 0,01 UM + 0,0025х              (9.49)

(-1,09)              (0,33)              (1,26)

(постоянный член не был вычислен при помощи использованного алгоритма). Уравнение показывает значимые воздействия первых четырех переменных, как это и ожидалось, но не показывает значимого влияния социальных переменных.

10