Взаимодействие между фиктивными переменными
Мы до сих пор предполагали, что воздействия качественных характеристик на зависимую переменную являются независимыми друг от друга. Например, в регрессии (9.30) предполагалось, что различие в весе при рождении для детей, родившихся у замужних и одиноких матерей, не зависит от того, рожала ли мать раньше, и наоборот.
Мы можем сделать это предположение менее строгим за счет ввода фиктивных переменных взаимодействия, которые определяются по аналогии с фиктивными переменными для коэффициента наклона и имеют такое же назначение.В рассматриваемом случае мы могли бы ввести фиктивную переменную взаимодействия (UMD), которая определяется как произведение UM и D и которая, следовательно, равна единице для одиноких матерей, рожавших раньше, и равна нулю для трех других комбинаций. Модель регрессии имеет вид:
y = a + bD + yUM + XUMD + ^x + u, (9.38)
и ее можно переписать либо как
у = а + (6 + \\UM)D + yUM + рх + и, (9.39)
либо как
у = а + SD + (у + XD) UM + Рх + и. (9.40)
Поэтому коэффициент А можно по выбору (оба альтернативных варианта эк-
Бивалентны) рассматривать либо как прирост коэффициента при фиктивной переменной числа предшествующих родов, если мать является одинокой, либо как прирост коэффициента для одиноких матерей, если мать рожала раньше.
Оценивание регрессии с использованием данных о 964 родах дает следующий результат:
* = 3,385 + 113/)— 117UM — 72UMD— 7,3х; ?2 = 0,041. (9.41)
(с.о.) (18) (28) (52) (115) (2,1)
Мы видим, что коэффициент при фиктивной переменной взаимодействия значимо не отличается от нуля при уровне значимости в 5%, и делаем вывод, что может не быть взаимодействия между переменной числа родов в прошлом и переменной для одиноких матерей. Однако следует отметить, что в выборке было только 16 одиноких матерей, которые рожали не в первый раз, и, следовательно, коэффициент при UMD имеет очень большую стандартную ошибку.
Этот пример дает предупреждение о том, что даже если выборка большая, но имеется несколько совокупностей фиктивных переменных, то число наблюдений в отдельных подкатегориях может легко оказаться очень малым, и, следовательно, проведение удовлетворительных проверок гипотез может быть затруднено.Упражнения
- При использовании выборки, включающей данные о 964 родах, оценена регрессионная зависимость веса новорожденных (у) от интенсивности курения матери (х), фиктивной переменной (D), характеризующейся числом предыдущих родов, фиктивной переменной (М) пола ребенка (определенной как в упражнении 9.2) и фиктивной переменной для коэффициента наклона (Мх), определяемой как произведение М их (в скобках указаны стандартные ошибки):
[gt; = 3312 + 124/)+ 108 Л/ — 10,5х + 5,1 Мх, ?2 = 0,057.
(23) (26) (28) (2,9) (4,1)
Прокомментируйте этот результат.
- Та же самая регрессия повторно оценена с включением фиктивной переменной взаимодействия (DM), определяемой как произведение DkM(b скобках указаны стандартные ошибки):
9 = 3304 + 144D + 123М - 39DM - 10,6х + 5,9х; R2 = 0,058.
(26) (38) (35) (53) (2,9) (4,1)
Прокомментируйте этот результат.