Состоятельность

Показать состоятельность также легко, если х имеет конечную теоретическую дисперсию а2. Мы знаем, что в общем случае plim (А/В) равен plim (А)/ plim (В),              где А              и В —              произвольные случайные              величины,              у              которых plim              (А) и

plim (В) существуют              и              plim (В) не равен нулю              (см.

дельное значение при увеличении объема выборки). Мы также знаем, что plim Cov (х, и) равен pop. cov (х, и), которая равна нулю, если х и и независимо распределены. Следовательно,

...              „ plimCov(x,«)              о 0              „

plimA = р + * .. ,, у/ =              Р + —г = Р-              /8

р mVar(x)              у о2              I8-32

б)              х и и одномоментно некоррелированы

Классический пример (единственный, который мы здесь рассмотрим), когда объясняющая переменная и случайный член одномоментно некоррелированы, заключается в использовании лаговой зависимой переменной в качестве одной из объясняющих переменных. Если мы имеем модель

у, = а + Р,Х, +              +              и„              (8.6)

то у,_х находится непосредственно под воздействием и,_| и косвенно — под влиянием всех предшествующих значений случайного члена. Следовательно, одна из объясняющих переменных в этой модели не имеет независимого от случайного члена распределения, и МНК не дает несмещенных оценок. Тем не менее несмотря на то, что приведенное выше доказательство несмещенности становится некорректным, доказательство состоятельности остается справедливым; если ум и и, некоррелированы, то можно показать, что plim Cov (y,_v ut) равен нулю. Таким образом, МНК сохраняет желательные свойства в больших выборках, хотя в малых это не обязательно так.

в)              х и и одномоментно коррелированы

Если х и и одномоментно коррелированы, то Cov (х, и) не будет стремиться к нулю даже в больших выборках, и оценка, полученная обычным МНК, является как смещенной, так и несостоятельной. Смещение в большой выборке равно пределу по вероятности Cov (х, и)/ст2.

Var (x) неограниченно возрастает

При разумных предпосылках представленные выше выводы, за одним исключением, остаются неизменными и в случае, когда взамен применявшегося ранее делается предположение о том, что по мере увеличения объема выборки Var (х) неограниченно растет. Основное отличие состоит в том, что, даже когда значения х и и коррелированы в каждый данный момент времени, МНК может обеспечивать состоятельность получаемых оценок. Если Cov (х, и) имеет конечный предел, a Var (х) увеличивается неограниченно, то ошибка в оценке р будет в больших выборках исчезать. С другой стороны, если Cov (х, и) не имеет конечного предела, то, очевидно, мало что можно сказать при отсутствии дополнительной информации. В этом случае возникает также проблема интерпретации проверок статистической значимости. Наиболее легкое решение состоит в том, чтобы трактовать их как условные, взятые при фактических выборочных значениях объясняющих переменных.

Мы не будем рассматривать здесь отдельно модель с независимо распределенной стохастической объясняющей переменной. Достаточно сказать, что большинство предыдущих примеров и упражнений в книге, вероятно, в большей мере соответствуют этой модели, чем первоначальной модели с нестохастической объясняющей переменной. Модели с лаговыми зависимыми переменными будут рассматриваться в главе 10. Оставшаяся часть главы 8 и вся глава 11 будут посвящены двум важным случаям, когда х и и в каждый отдельный момент коррелированы: когда данные подвержены воздействию ошибок измерения (глава 8) и когда осуществляется оценка параметров уравнения, входящего в состав системы одновременных зависимостей (глава 11). В обоих этих случаях если мы хотим получить состоятельные оценки, то должны найти какую-либо альтернативу методу наименьших квадратов.