Обобщение

Теперь мы можем обобщить сделанные выводы. Предположим, что истинной моделью является

j\' = a + p,x,+62X2 + ...+Рл + и,              (6.25)

и допустим, что мы не имеем данных по переменной х,, но другая переменная 184 (z) выступает идеальным заменителем для нее в том смысле, что имеется строгая линейная связь между величинами х, и Z-*

х, = X + \\iz,              (6.26)

где X и р являются постоянными, но неизвестными величинами.

Если мы построим регрессию

у = а + Ьрс2 +              + bpck + cz,              (6.27)

то оценки величин Ь2, ..., Ьк, их стандартные ошибки и коэффициент R2 будут такими же, какими они были бы при наличии возможности построения регрессии с использованием х,. Единственным недостатком является то, что нет оценок коэффициента при самой величине х,, а величина а не является оценкой а. Коэффициент с будет оценкой величины Р,ц. Для того чтобы получить оценку р,, нужно разделить величину с на р. Зачастую вы можете не иметь представления о величине р, и тогда на этом дело будет закончено. Но иногда вы сможете сделать о ней субъективное предположение на основе опыта, интуиции или логики.

Например, предположим, что вы исследуете вопрос об «утечке мозгов» из страны А в страну В и используете (весьма наивную) модель:

у = а + рх + и,              (6.28)

где у — показатель относительного уровня миграции определенного вида трудовых ресурсов из страны А в страну В; х — показатель отношения уровня заработной платы в стране В к заработной плате в стране А. Вы полагаете, что при более высокой разнице в заработной плате будет более высокой и миграция.

В этом случае в качестве первого приближения было бы разумно предположить, что относительные уровни заработной платы пропорциональны относительным величинам ВВП. Если бы эта зависимость была строгой, то уравнение (6.26) можно было бы записать с величиной X, равной нулю, и величиной ц, равной единице. Отсюда с — коэффициент при относительном ВВП дал бы непосредственную оценку величины р — коэффициента при относительной заработной плате. Поскольку переменные в регрессионном анализе зачастую определяются в относительной форме, то этот частный случай в действительности имеет широкое применение.

В данном рассуждении мы приняли, что z является идеальной замещающей переменной для х, и справедливость всех приведенных выше результатов зависит именно от этого условия. На практике обычно невозможно найти замещающую переменную, имеющую строгую линейную связь с недостающей переменной. Но если связь близка к линейной, то результаты будут приблизительно на том же уровне. Основной проблемой является отсутствие средств для проверки того, удовлетворительно или нет выполняется указанное условие. Здесь приходится оправдывать использование замещающей переменной на основе субъективных критериев. Использование несовершенных замещающих переменных будет рассмотрено далее в главе 8.