Основная идея стимулирования

Так как целевая функция центра зависит от действия, выбираемого агентом, то эффективностью системы стимулирования является значение целевой функции центра на множестве действий агента, реализуемых данной системой стимулирования.

Множество действий агента, доставляющих максимум его целевой функции (и, естественно, зависящее от функции стимулирования), называется множеством решений игры или множеством действий, реализуемых данной системой стимулирования : (3) P(o) = Arg max {o(y) - c(y)}.

У<ЕЛ

Зная, что агент выбирает действия из множества (3), центр должен найти систему стимулирования, которая максимизировала бы его собственную целевую функцию. Так как множество P(o) может содержать более одной точки, необходимо доопределить (с точки зрения предположений центра о поведении агента) выбор агента. Если не оговорено особо, то в ходе последующего изложения будем считать выполненной гипотезу благожелательности (ГБ), которая заключается в следующем: если агент безразличен между выбором нескольких действий (например, действий, на которых достигается глобальный максимум его целевой функции), то он выбирает из этих действий то действие, которое наиболее благоприятно для центра.

Итак, в рамках ГБ агент выбирает из множества (3) наиболее благоприятное для центра действие, следовательно, эффективность системы стимулирования s е M равна:

K(s) = max Fy)

yeP (s)

где F(y) определяется (2).

Если отказаться от гипотезы благожелательности, то следует вместо эффективности (4) стимулирования использовать гарантированную эффективность

Ks(s) = min F(y).

yeP(s)

Прямая задача синтеза оптимальной системы стимулирования заключается в выборе допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность:

K(s) ® max,

s eM

или максимальную гарантированную эффективность:

Kg(S) ® max.

s eM

Система стимулирования s (•), являющаяся решением задачи (5), то есть имеющая максимальную эффективность, называется

оптимальной1:

s*(•) = arg max K(s).

s eM

Обозначим K* = K(s*), K* = max Kg(s).

g s eM

K > Kg. В [11, 15] доказано, что, если целевые функции непрерывны, а допустимые множества компактны, то эффективность K* гарантированно оптимальной системы стимулирования сколь

угодно близка к эффективности K* оптимальной системы стимулирования.

Обратная задача стимулирования заключается в поиске множества систем стимулирования, реализующих заданное действие, или в более общем случае - заданное множество действий A с A.

Например, при A = {y } обратная задача может заключаться в поиске множества M(y ) систем стимулирования, реализующих это действие, то есть M(y*) = {о е M | у* е Р(о)}. Определив M(y*), центр имеет возможность найти в этом множестве «минимальную» систему стимулирования, то есть реализующую заданное действие с минимальными затратами на стимулирование, или систему стимулирования, обладающую какими-либо другими заданными свойствами, например - монотонность, линейность и т.д.

Следует отметить, что введенные выше предположения согла-сованы в следующем смысле. Агент всегда может выбрать нулевое действие, не требующее от него затрат (второе предположение) и приносящее нулевой доход центру (третье предположение). В то же время, центр имеет возможность ничего не платить ему за выбор этого действия.

Во всех содержательных интерпретациях теоретико-игровых моделей стимулирования предполагается, что у агента имеется альтернатива - сохранить статус-кво, то есть не вступать во взаимоотношения с центром (не заключать трудового контракта). Отказываясь от участия в данной ОС, агент не получает вознаграждения от центра и всегда имеет возможность выбрать нулевое действие, обеспечив себе неотрицательное (точнее - нулевое) значение целевой функции. Если вне данной ОС агент может гарантированно получить полезность U > 0 (пособие по безработице или резервную полезность - reservation wage utility) в терми-нологии теории контрактов), то и при участии в данной ОС ему должен быть гарантирован не меньший уровень полезности.

(6) Р(о U) = Arg max _ {о(у) - c(y)}.

{yeA | о(У) > c(У) + U }

Далее для простоты, если не оговорено особо, без ограничения общности будем считать резервную полезность равной нулю.

Сделав маленькое отступление, обсудим более подробно модель процесса принятия решений агентом. Предположим, что

некоторый агент предполагает устроиться на работу на некоторое предприятие. Ему предлагается контракт {s(y), y }, в котором

оговаривается зависимость s() вознаграждения от результатов y

*

его деятельности, а также то, какие конкретные результаты y от него ожидаются. При каких условиях агент подпишет контракт, если обе стороны - и агент, и предприятие (центр) принимают решение о подписании контракта самостоятельно и добровольно? Рассмотрим сначала принципы, которыми может руководствоваться агент.

Первое условие - условие согласованности стимулирования (incentive compartibility constraint), которое заключается в том, что при участии в контракте выбор именно действия y (а не какого- либо другого допустимого действия) доставляет максимум его целевой функции (функции полезности). Другими словами, это - условие того, что система стимулирования согласована с интересами и предпочтениями агента.

Второе условие - условие участия в контракте (иногда его называют условием индивидуальной рациональности - individual rationality constraint), которое заключается в том, что, заключая данный контракт, агент ожидает получить полезность, большую, чем он мог бы получить, заключив другой контракт с другой организацией (с другим центром). Представления агента о своих возможных доходах на рынке труда отражает такая величина как резервная заработная плата. Остановимся на ее рассмотрении более подробно.

Пример 2. Предположим, что агент (безработный или собирающийся сменить работу) имеет свои субъективные представления о распределении вероятностей предлагаемой на рынке труда заработной платы (или ставки заработной платы ) [7, 17].

ции данного агента. Гипотетическая кривая распределения приведена на рисунке 3.

Понятно, что в среднем более высокой квалификации соответствует более высокая оплата. Если бы агент обладал полной информацией о требованиях s*(k) к квалификации, предъявляемых на рынке труда для получения соответствующей заработной платы, и если бы достоверная информация о его квалификации k* была полностью доступна всем потенциальным работодателям (центрам), то он был бы, фактически, лишен выбора и соглашался бы на существующий однозначный рыночный уровень заработной платы s*(k*), соответствующий его квалификации. Проблема за-ключается в том, что информация о рынке труда несовершенна, то есть и агент, и центр действуют в условиях неполной информированности.

Рис. 3. Резервная, ожидаемая и максимальная заработная плата

Предположим, что агент имеет свои субъективные представления о минимальном уровне заработной платы U (k *), за которую он согласен работать при данной его квалификации. Величина

U(к*) называется резервной заработной платой. Тогда процесс поиска работы можно представить себе следующим образом: получая информацию о предлагаемых условиях работы и ее оплаты, агент соглашается с первым предложением, превышающим его резервную заработную плату (в случае смены работы в качестве резервной заработной платы может выступать, например, величина зарплаты на старом месте работы или величина пособия по безработице и т.д.).

Так как агент не может получить заработную плату, превышающую о (к*) (поэтому величину о (к) иногда называют максимальной заработной платой), то ожидаемая заработная плата будет равна следующей величине:

о\'(к\')

Ео(к*) = J о р(о) йо .

U (к\')

Более подробное обсуждение свойств резервной заработной платы и моделей поиска работы можно найти в [17].

Вернемся к анализу условий взаимовыгодности заключения трудового контракта.

Аналогичные (приведенным выше для агента) условия согласованности и индивидуальной рациональности можно сформулировать и для центра. Если имеется единственный агент - претендент на заключение контракта, то контракт будет выгоден для центра, если выполнены два условия.

Первое условие (аналогичное условию согласованности стимулирования) отражает согласованность системы стимулирования с интересами и предпочтениями центра, то есть применение именно фигурирующей в контракте системы стимулирования должно доставлять максимум целевой функции (функции полезности) центра (по сравнению с использованием любой другой допустимой системы стимулирования) - см. (4).

Второе условие для центра аналогично условию участия для агента, а именно - заключение контракта с данным агентом выгодно для центра по сравнению с сохранением статус-кво, то есть отказу от заключения контракта вообще. Например, если считать, что прибыль предприятия (значение целевой функции центра) без

заключения контракта равна нулю, то при заключении контракта прибыль должна быть неотрицательна.

Если претендентов на заключение контракта несколько, то центру необходимо учитывать третье условие - наиболее выгодно должно быть заключение контракта именно с данным (а не каким- либо другим) агентом или множеством агентов.

Качественно обсудив условия заключения взаимовыгодного трудового контракта, вернемся к формальному анализу, то есть решению задачи стимулирования (4). Отметим, что решение данной задачи «в лоб» достаточно трудоемко. Но, к счастью, можно угадать оптимальную систему стимулирования исходя из содержательных соображений, а затем корректно обосновать ее оптималь-ность.

Легко видеть, что в рамках введенных предположений при участии агента в рассматриваемой организационной системе ему гарантируется как минимум нулевое значение полезности. Условие неотрицательности полезности агента:

" y е P(s) fy) > 0

является условием индивидуальной рациональности.

Po(s) = {y е A | s(y) > c(y)} 3P(s).

Предположим, что функция H() дохода центра - возрастающая и вогнутая (свойство убывающей предельной полезности), а функция c() затрат агента - выпуклая (предельные затраты увеличиваются с ростом действия). На рисунке 4 изображены графики функций: H(y) и (c(y) + U ). С точки зрения центра стимулирование не может превышать доход, получаемый им от деятельности агента (так как, отказавшись от взаимодействия с агентом, центр всегда может получить нулевую полезность). Следовательно, допустимое решение лежит ниже функции H(y). С точки зрения агента стимулирование не может быть меньше, чем сумма затрат и резервная полезность (которую агент всегда может получить, выбирая нулевое действие). Следовательно, допустимое решение лежит выше функции (c(y) + U ).

Множество действий агента и соответствующих значений вознаграждений, удовлетворяющих как для центра, так и для агента одновременно всем перечисленным выше ограничениям (согласования, индивидуальной рациональности и др.) называется «область компромисса» и заштрихована на рисунке 4. При этом реализуемыми оказываются действия агента из следующего множества:

(9) S = {x е A | H(x) - c(x) - U >0}.

Рис. 4. Область компромисса в задаче стимулирования

S

Так как центр стремится минимизировать выплаты агенту, при условии, что последний выбирает требуемое действие, то оптимальная точка должна лежать на нижней границе области компромисса, то есть с точки зрения центра стимулирование в точности должно равняться сумме затрат агента и резервной полезности. Этот важный вывод получил в литературе название «принцип компенсации затрат» [7, 11, 12, 14]. В соответствии с этим принципом, для того, чтобы побудить агента выбрать определенное действие, центру достаточно, помимо резервной полезности, ком-

Легко видеть, что при неизменных функциях дохода и затрат с ростом величины U область компромисса вырождается.

пенсировать затраты агента. Помимо компенсации затрат, центр может устанавливать также мотивирующую надбавку S > 0.

Следовательно, для того, чтобы агент выбрал действие x е A, стимулирование со стороны центра за выбор этого действия должно быть равно

o(x) = c(x) + U + S.

Легко видеть, что, если в противном случае (то есть при выборе агентом другого действия) вознаграждение равно нулю, то выполнены как условия согласованности стимулирования, так и условие индивидуальной рациональности агента. При этом стимулирование со стороны центра является минимально возможным. Следовательно, доказано, что параметрическим (с параметром x е A) решением задачи стимулирования (5) является следующая система стимулирования

fc(x) + U + S, y = x

oeK(x, y) = \\ yj ^ ,

[0, y * x

которая называется квазикомпенсаторной (QK-типа).

В случае, если на максимальную величину вознаграждения наложено ограничение С > 0, которое можно рассматривать как размер фонда заработной платы (ФЗП), то из (10) следует, что область компромисса (9) имеет вид:

S = {x е A I H(x) - C- U >0}. Рассмотрим теперь, какое действие следует реализовывать центру, то есть каково оптимальное значение x е A.

Так как в силу (10)-(11) стимулирование равно затратам агента, то оптимальным реализуемым действием y является действие, максимизирующее в области компромисса разность между доходом центра и затратами агента. Следовательно, оптимальное реализуемое действие может быть найдено из решения следующей стандартной оптимизационной задачи

y* = arg max {H(x) - c(x)},

xeS

которая получила название задачи оптимального согласованного планирования [1, 12]. Действительно, то действие, которое центр собирается побуждать выбирать агента, может интерпретироваться как план - желательное с точки зрения центра действие агента. В силу принципа компенсации затрат план является согласованным, значит центру в силу (11) остается найти оптимальный согласованный план.

Условие оптимальности в рассматриваемой модели (в предположении дифференцируемости функций дохода и затрат, а также вогнутости функции дохода центра и выпуклости функции затрат

ч dH(y*) dc(y*) „ dH(y) агента) имеет вид: = —-—. Величина — в экономике

dy dy dy

называется предельной производительностью агента (MRP), а d ( *)

величина —-— - его предельными затратами (MC). Условие

dy

оптимума (MRP = MC) - определяет так называемую эффективную заработную плату.

Отметим еще одну важную содержательную интерпретацию условия (11). Оптимальный план y максимизирует разность между доходом центра и затратами агента, то есть доставляет максимум суммы целевых функций (1) и (2) участников ОС, и, следовательно, является эффективным по Парето .

Отметим, что квазикомпенсаторная система стимулирования не является единственной оптимальной системой стимулирования - легко показать, что в рамках гипотезы благожелательности решением задачи (5) является любая система стимулирования S (•), удовлетворяющая следующему условию: S (y*) = c(y ) + U ,

" y Фy S (y) ?c(y) - см. рисунок 5, на котором приведены эскизы

* * *

трех оптимальных систем стимулирования - , S2 и S3.

Рис. 5. Оптимальные системы стимулирования

Область компромисса является чрезвычайно важным понятием. Ее непустота отражает наличие возможности согласования интересов центра и агента в существующих условиях. Поясним последнее утверждение.

В формальной модели стратегии участников ограничены соответствующими допустимыми множествами. Учет ограничений индивидуальной рациональности агента (условно можно считать, что параметр резервной зарплаты U , фигурирующий в условии участия, отражает ограничения рынка труда - см. введение) и центра (условно можно считать, что неотрицательность целевой функции центра отражает ограничения финансовой эффективности деятельности центра - затраты на стимулирование агента не должны превышать доход от результатов его деятельности), а также условий согласования, приводит к тому, что множество «рациональных» стратегий - область компромисса - оказывается достаточно узкой.

Фактически, компромисс между центром и агентом заключается в дележе полезности, равной разности полезностей в точках А и В на рисунке 4. Делая первый ход (предлагая контракт), центр «забирает» эту разность себе, вынуждая агента согласиться с резервным значением полезности. Легко проверить, что в противо-

положной ситуации, когда первый ход делает агент, предлагая контракт центру, нулевую полезность получает центр, а агент «забирает» разность полезностей между точками А и В себе.

Точки А и В на рисунке 4 являются «предельными» случаями, в которых вся «прибыль» А = H(y*) - C(y*) - U достается, соответственно, либо агенту, либо центру. Значительный интерес представляют промежуточные случаи, в которых величина А делится между центром и агентом в соответствии с некоторым правилом, взаимная договоренность о котором является компромиссом и достигается в результате переговоров [7, 15]. Примерами подобных правил являются: равное распределение (при котором центр и агент получают по А/2), принцип равных рентабельностей:

[H(y*) - ОС*)] / Sy*) = [Sy*) - c(y*)] / c(y\\ при котором размер вознаграждения является средним геометрическим между доходом центра и затратами агента, и др.

Из проведенного анализа следует, что решение задачи стимулирования может быть разделено на два этапа. На первом этапе решается задача согласования - определяется множество (3) реализуемых при заданных ограничениях действий. На втором этапе решается задача оптимального согласованного планирования (12) - ищется реализуемое действие, которое наиболее предпочтительно с точки зрения центра. Подобная идеология разбиения решения задачи управления ОС на этапы используется и в теории активных систем, и в теории контрактов при решении широкого класса задач.

Существенным «плюсом» квазикомпенсаторных систем стимулирования является их простота и высокая эффективность, существенным «минусом» - абсолютная неустойчивость относительно возможных возмущений параметров модели [2]. Действительно, если центр неточно знает функцию затрат агента, то сколь угодно малая неточность может приводить к значительным изменениям реализуемых действий. Вопросы адекватности моделей стимулирования, устойчивости оптимальных решений и т.д. подробно исследовались в [2, 3]. Предложенная в упомянутых работах техника анализа и методы повышения гарантированной (в рамках имеющейся у центра информации) эффективности стимулирования могут быть непосредственно использованы и для моделей, рас-

сматриваемых ниже, поэтому проблемы адекватности и устойчивости в настоящей работе не рассматриваются.

Выше описан подход к решению задачи стимулирования, использующий анализ свойств множеств реализуемых действий: определялось множество действий, реализуемых некоторой системой стимулирования, после чего вычислялся максимум целевой функции центра по этому множеству, а затем уже выбиралась система стимулирования. При этом задача стимулирования распадается на два этапа: этап согласования и этап согласованного планирования. В явном виде эту последовательность можно выразить следующим образом: на первом этапе для каждой допустимой системы стимулирования вычисляются множества реализуемых

действий, затем берется их объединение: PM = UP(s), после

s eM

чего на втором этапе решается задача планирования - максимизации целевой функции центра на множестве PM (отметим, что с точки зрения модели компромисса PM = S).

Умея решать прямую задачу стимулирования, достаточно просто найти и решение соответствующей обратной задачи. Например, выражение (9) позволяет определить минимальные ограничения на стимулирование, позволяющие реализовывать заданные действия. Взаимосвязь прямых и обратных задач стимулирования подробно обсуждались в монографии [11]. Поэтому в настоящей работе в основном ограничимся прямыми задачами стимулирования, наиболее близкими к задачам управления персоналом и т.д.

Интересно подчеркнуть, что выше оптимальное решение, фактически, угадано без решения задачи «в лоб» . Существенную помощь при этом оказала идея введения множеств реализуемых

действий. Альтернативным подходом является анализ минимальных затрат на стимулирование .

Минимальными затратами (центра) на стимулирование по реализации действия y е PM в классе допустимых систем стимулирования M называется следующая величина:

smin(y) = min {o(y) I У e P(s)},

s eM

то есть минимальное допустимое вознаграждение, которое побудит агента выбрать заданное действие. Для тех действий, которые не могут быть реализованы в классе M, положим минимальные затраты на стимулирование равными бесконечности:

smin (У) =+~, У E A \\ PM.

Если одно и то же действие может быть реализовано несколькими системами стимулирования, то, очевидно, что в рамках утилитарной модели большей эффективностью обладает та из них, которая характеризуется меньшими затратами на стимулирование. Другими словами, оптимальным является класс систем стимулиро-вания, реализующий любое действие агента с минимальными затратами центра на стимулирование. Например, в рамках введенных предположений принцип компенсации затрат можно сформулировать следующим образом: V y E PM smin (y) = с(у) + U .

Как следует из сказанного выше, в рамках введенных предположений квазикомпенсаторная система стимулирования (11) является оптимальным решением базовой задачи стимулирования. Казалось бы, что можно еще «вытянуть» из этой задачи? Все дело в том, что считалось, что квазикомпенсаторная система является допустимой. Однако, на практике это не всегда так - центр может быть жестко ограничен некоторым фиксированным классом систем стимулирования, причем эти ограничения могут быть как экзогенными - например, определяться правовыми нормами, регулирующими оплату труда, так и эндогенными - по тем или иным причинам центр может быть склонен к использованию, например, сдельной или повременной оплаты, а не к простой компенсации

затрат. Следовательно, необходимо оценить сравнительную эф-фективность различных систем стимулирования.

Приводимое ниже описание систем стимулирования выполнено в рамках следующего общего подхода: для фиксированного класса систем стимулирования определяются минимальные затраты на стимулирование, затем сравниваются затраты на стимулирование для различных классов. Априори можно сказать, что так как «идеалом» являются «абсолютно оптимальные» квазикомпенсаторные системы стимулирования, то эффективность любой системы стимулирования будет не выше (а затраты на стимулирование, соответственно, не ниже), чем квазикомпенсаторной. Однако, важно не только качественное соотношение эффективностей, так как ключевым является вопрос именно о количественных потерях в эффективности (приросте в минимальных суммарных затратах на стимулирование) - только зная величину этих потерь управляющий орган может принимать решение о целесообразности использования конкретной системы стимулирования. Основным инструментом оценки потерь в эффективности являются приведенные выше результаты о соотношении эффективности и минимальных затрат на стимулирование, поэтому достаточным оказывается вычисление разности или отношения показателей эффективности или соответствующих затрат на стимулирование.

Закончив вводную часть, в которой с точки зрения теории ак-тивных систем и теории иерархических игр обсуждается инструментарий для дальнейшего исследования, перейдем к описанию задачи стимулирования с точки зрения теории контрактов.