Равновесная цена на идеальном рынке

Рыночное равновесие определяет усредненную цену финансового актива и соответственно ожидаемый уровень его доходности. При прочих равных условиях кривую спроса можно представить как нормальную убывающую зависимость, связывающую цену актива с величиной спроса на него со стороны инвесторов. Более высокая цена, очевидно, ведет к меньшему совокупному спросу. Заимствуя из экономической теории термин "неценовые детерминанты спроса", можно в качестве таковых выделить следующие: цены других активов, риски, корреляции, располо-женность к риску.

При изолированном изменении любого из этих факторов спрос на данный актив будет меняться. Так, с возрастанием риска он снизится, что отзовется увеличением равновесной ожидаемой доходности. Напротив, актив, который отрицательно коррелируется с рынком, пользуется повышенным спросом, так как он помогает инвесторам уменьшить риск их портфелей. Поэтому, несмотря на его более низкую ожидаемую доходность, инвесторы все равно будут вкладывать в него средства.

Очевидно, что взаимное расположение разных кривых спроса связано также с отношением инвесторов к риску. Более осторожные реагируют на риск резким свертыванием спроса и тем самым сообща сбивают цен>. Отсюда можно заключить, что общий уровень цен на равновесном рынке, помимо собственно рисков, испытывает также давление, зависящее от отношения инвесторов к риску, и с ростом их агрессивности повышается.

Допустимо считать, что в краткосрочном периоде рыночное предложение активов не меняется и равновесие цен зависит только от изменений спроса, вызванных в том числе действием неиеновых детррминпнт. Покажем, как учитывается их влияние в колебаниях рыночной стоимости фирмы.

,цля упрощения выкладок рассмотрим простой случай двухпозицион- ного рынка. По одной позиции рынок сводит кредиторов и заемщиков, которые привлекают и размещают деньги под безрисковый процент г, а по другой - выступает посредником между продающей свои акции фир-мой и инвесторами. Рынок является бескорыстным в том смысле, что использует одни и те же цены для покупки и продажи, то есть не берет комиссионных.

Итак, на рынке присутствует одна фирма и К инвесторов. Спрос каждого инвестора определим через желаемую для приобретения долю фирмы - Zк, где к ~ 1,2, ..., К.

Пусть УУ,. - начальный капитал инвестора к. Каждый инвестор на двухпозиционном рынке решает задачу размещения своего капитала между двумя видами вложений: в акции фирмы и под неслучайную ставку г, то есть - уже известную нам задачу о двувидовом портфеле с без-рисковой составляющей.

Его окончательный выбор на прямой эффективных портфелей (56) зависит от его отношения к риску и определяется личной функцией полезности дохода Рк:

ик= РК-СКРК2, Ск>0.

Будем считать, что каждый инвестор предусматривает возможность использования заемного капитала по ставке г, с тем чтобы увеличить свою долю 2К.

Обозначим рыночную стоимость фирмы, приуроченную к дате принятия инвестиционных решений, то есть к началу периода, через Ух. Эта стоимость формируется под влиянием индивидуальных решений |2К, к = 1, К составляющих совокупный инвестиционный спрос на акции фирмы.

В свою очередь, предпочтения участников зависят от прогнозируемого ими экономического состояния фирмы. На основе этих прогнозов у каждого участника складывается свое мнение-оценка возможной стоимости фирмы V на конец рассматриваемого периода. Последнее позволяет считать цену V случайной величиной с заданными средними: математическим ожиданием ш и дисперсией о2. \r\n

Легко понять, что, если разрешено инвестировать за счет заемных средств, рынок будет способствовать такому перераспределению капиталов (от тех, кто избегает короткой позиции, к тем, кто ее использует), при котором в равновесии

^К=УХ, 1. (75)

плм^рииа

?КУХ, инвестор К в конце периода будет

О. ^-ч^-т он

иошгі уїхп Ц^IV!

"ЯТЬ СПеЛСТПЯМИ

и! ь С ре

РК = (\\ук - Хууло + туу = Р\\ук_ + гк(у - Рух). (76)

В этом выражении множитель р = ! + г - коэффициент наращения по начальному вкладу (\\УК - 2К-УХ), а второе слагаемое /„V равно стоимости принадлежащих инвестору акций в конце периода.

Задача инвестора состоит в том, чтобы максимизировать ожидаемую полезность благосостояния Рк. Эта полезность является сложной функцией от переменной Тк.

сШк сШк

Ее первая производная = ^р * = I\' ~~ ^кгк Д у _ РуХ), а вто

сГи,

рая производная

.. х ^ = (_ 2Ск )(У - РУ )2 < 0.

с!2к к с! Як с!2к

Поэтому, если нет ограничений на короткую позицию, необходимое и достаточное условие точки максимума запишется в виде:

Е|(1 - 2СкРк)(У - рУх)! = 0. (77)

Подставляя (76) в (77), получим следующее уравнение для определения оптимального значения

(78)

1

[У-РУХ] =о.

^Ск Откуда:

2кЕ(У-рУх)

Р^к I - рУх) •

2СЬ

Раскрывая математические ожидания в левой и правой частях этого равенства, получим: \r\n

\r\n1

(79)

(т - РУ„).

2С,

гк(Е(У2)-2тРУх +Р2УХ2) = \r\n

\r\nРассмотрим равенства (79) при различных к = 1,2, ..., К и сложим их с учетом (75) и тождества Е(У2) = о2 + ш2. В результате получим: \r\n

\r\n1

РУх(ш-РУх).

о2 + ш2 - 2тРУх + р2у2 = (ш - РУХ) \r\nV-7 I ЧУ vwil ll/ujvririv lipriUVMri Jwi i\\ ипд) .

(m-pVJ^-m)-a\'.

Раскрывая, найдем рыночную стоимость фирмы:

V

^ 2Ck

Таким образом, текущая стоимость фирмы может рассматриваться как дисконтированная величина ее цены т, ожидаемой на конец периода, скорректированная с учетом риска и предрасположенностью к нему инвесторов. Эта предрасположенность характеризуется величинами {Ск}. Инвесторы с малым значением этого коэффициента почти не обращают внимания на риск; для тех же, кто осторожничает, его величина будет существенно выше.

Согласно свойствам квадратичной функции полезности ик(^к) значе- зргун

Поэтому, как следует из (75), (76), 1

2С„

и, следовательно,

V— ш >0.

2СК

Анализируя формулу ценообразования (80) для крайних случаев убы-вания и роста коллективной склонности к риску 2 2С~|\' получим, что на рынке агрессивных инвесторов цена (80) растет и приближается к безрисковому варианту I V,,-» — | , а для осторожных падает вплоть до

I Р)

обесценивания.

Таким образом, выводы модели полностью согласуются с наблюдаемой реальностью - с массовым ростом рископредрасположенности участников рынка ценных бумаг общий уровень цен на нем повышается. \r\n

Здесь мы ограничились частным случаем одной фирмы. В случае со многими фирмами-продавцами 0 = 1, 2, 3 ...) формулы равновесных цен имеют вид: \r\n

\r\nIа-*

Ух,

Р

I

\r\n

\r\n

Такое расширение позволяет