Детальное рассмотрение остатков

После построения линии регрессии стоит более детально рассмотреть общее выражение для остатка в каждом наблюдении. Логика этого рассмотрения является достаточно простой.

Рис. 2.6

На рис. 2.6 линия регрессии

$ = а + Ьх              (2.17)

построена по выборке наблюдений. Для того чтобы не загромождать график, показано только одно такое наблюдение: наблюдение /, представленное точкой Р с координатами (xjt у).

Когда х =Xj линия регрессии предсказывает значение у =ур что соответствует точке R на графике, где

$gt;, = а + Ьхг              (2.18)

Используя условные обозначения, принятые на рис. 2.6, это уравнение можно переписать следующим образом:

RT = 57’ + RS,              (2.19)

так как отрезок ST равен а, а отрезок RS равен Ьхг Остаток PR — это разность между РТ и RT:

PR = PT-RT = PT~ST-RS.              (2.20)

Используя обычную математическую запись, представим формулу (2.20) в следующем виде:

е(. =у;-у,. = у/-о-Ьх,..              (2.21)

Если бы в примере, показанном на графике, мы выбрали несколько большее значение а или несколько большее значение Ь, то прямая прошла бы ближе к Р, и остаток е,- был бы меньше. Однако это повлияло бы на остатки всех других наблюдений, и это необходимо учитывать. Минимизируя сумму квадратов остатков, мы попытаемся найти некоторое равновесие между ними.