4.4.2.Обработка и оценка результатов экспериментов

Для решения поставленных в исследовании задач при системном подходе могут быть использованы в комплексе различные методы обработки материалов эксперимента:

экономико-статистические методы;

расчетно-аналитические методы;

экономико-математические и другие методы.\r\nJ. y- a i-hx 2в. У ^ а+Ьхи~с!гЕх\r\n2, y= 27. y= а + \'^/л— ч: х\r\n3. y= a + b in л ?3. y = — с я\r\n4. y= а+Ь ?9. >¦ = а+Ь i/T-c х\r\n5. y= a + fl v х SO. у— s-Hi vT+c л\r\n6. y= а+ Ь/к 51. V = a-t-bx3—с sin л\r\n7. y = л+Ь/х! 32. y = а+Ьх**—с v\' х\r\na. y- a-j-Ь sin л-|-е cos к 33. v = a+bjt~c V" к\r\na. y = a--L.\'x + с л L:l я J4. v = Я

a + L/x\'-j-c: у *\r\n10. v ¦ a — b sb к 35. V —¦ a + V х\r\n1 L. y- a f bx-i-c sin х 36. y = а + Ь/к^с.уТ\r\nVI ? = а—Ъ ? — с sin к 3?. у - а 4 Ьк,- : с VT\r\n13 у - a— b In sLn X ЗА. У*- а-|-Ь;\'*-к л2\r\n14. y = а—Ьк-Ьс ig л 39. У = а + Ь,\'\'я\'If s1\r\nLi. У a-^U \\fx + z tg л 40. У = а + Ъ.\'к + с/х*\r\n15. а—Ьх^Н-с tg к 41 У^ a-f Vv+f ¦\' У х\r\n .

y- У 0 j.tx^Q1 V*\r\n]9. 44. У а+ЬхЧ-с/ lT\r\n Jr = , , , a+u v *т( Ig x 4J5. У ~ a f h In x| c<\r\n20. У J tg Л 46. .—\r\n У- a+b tg x+t/y к\r\n^ J. у = a -l-V\'X-t-c in ^ л.—\r\n22. у^а-.аук + с Ln x 47. У- a+b [g *+;..\' У * j .. \r\n23. т- a J b /\\г4- с in я 46. у = ia + bx-t-ci1 >¦\' x a-f-fcv-i-c,\' V к\r\nJ!4. У = :a + b V\' in 4!>, У = \r\n25. У = i.—

; а + Ь у Я -(—с Ir. x 50. У = 3 -—

¦a+b tg x+e,: y\' It\r\nРассмотрим содержание последних методов, которые в меньшей мере встречаются в экономической литературе, но широко используются в экономических и других исследованиях. В основе обработки материалов эксперимента экономико-математическими методами лежит регрессионный анализ, объединяющий практические методы исследования зависимостей между величинами по статистическим данным.

В этой связи, основными задачами регрессионного анализа являются следующие:

выбор модели регрессии (см. перечень функций, применяемых для аналитического выравнивания);

оценка параметров выбранной модели методом квадратов;

проверка статистических гипотез о регрессии;

проверка адекватности модели. Для выбора необходимого

вида модели надо сформулировать требования, которыми она должна удовлетворять: адекватность и простата.

Под адекватностью понимается способность модели предсказывать результаты экспе-римента с требуемой точностью. Простота - элемент относительный и считается самым удобным в этом плане - алгебраические полиномы.

Функции, применяемые для аналитического выравнивания:

80

Как видно, сложность модели повышается с ростом степени полинома, а, следовательно, количеством определяемых неизвестных коэффициентов. Так, полином i-й степени \r\n

от двух факторов содержит С2+i неизвестных параметров, а полином i-й степени от "n"

факторов содержит C1n+f неизвестных параметров.

Поэтому, повышая степень полинома и получая, тем самым, более адекватную модель, надо помнить о значительном увеличении ее сложности. В этой связи, на практике чаще всего ограничиваются полиномами первой или второй степени, с использованием метода наименьших квадратов.

Рассмотрим более подробно наиболее распространенный метод аналитического выравнивания, т.е. нахождения математической функции, которая точно описывает тенденцию изменений. Наиболее ответственными этапами при этом являются: выбор формы кривой (математической функции); определение показателей, дающих количественную характеристику тенденций; оценка достоверности расчетов.

Выбор математической функции осуществляется перебором функций, применяемых для аналитического выравнивания и построением графика. Общий вид графика, как правило, позволяет установить: имеет ли динамический ряд отчетливо выраженную тенденцию; если да, то является ли эта тенденция плавной; каков характер тенденций (монотонная или немонотонная, возрастающая или убывающая).

N

(6.1)

В этом состоит требование метода наименьших квадратов.

Мы считаем, что способ наименьших квадратов в маркетинговых расчетах (исследованиях) лучше использовать для прямой и парабол любого порядка.

Наши исследования показывают, что для повышения обоснованности и достоверности выравнивания с целью более точного выявления сложившейся тенденции, желательно проводить расчет по нескольким аналитическим функциям и, на основе экспертных и статистических оценок, определить лучшую форму связи 2.

После определения формы связи и выбора подходящих математических функций, задача сводится к определению показателей, которые дадут количественную характеристику. Необходимо определить параметры уравнений связи. Решение системы линейных уравнений позволяет найти коэффициенты регрессий и, следовательно, полностью определить требуе - мую зависимость.

хаоиаёёГ А.1. N0a0ёn0ё-anёёa ТдоТай ^aТa^ТQёaтаa^ёу. 1.:1977.

16aa0ёёr Г.А. Ём^ё^^у yётгттё^anёaу Тб&^ёa оaaёотaта Тг&жпётат оaaёотa- ГТаТ ?aaiaa. 1аоаг?заГаПё .: "Ёaa&ёёу", 1988 - 182п.

81 \r\nДля полного факторного плана и линейной функции отклика можно обойтись без решения системы, а определить коэффициенты модели, записанной в относительных переменных по простым соотношениям.

Ограничимся только случаем двух факторов.

Для линейной модели

у = b0 + b2X2 (6.2)

базисными являются функции F0=1, F1=x1, F2=x2. Для относительных переменных, модель, очевидно, также будет линейной, но, вообще говоря, с некоторыми другими коэффициентами:

У = a0 + aiV1+a2V2 (6.3)

Матрица планирования для полного двухуровневого факторного эксперимента с двумя факторами приведена в табл.1.

Новые коэффициенты модели определяются непосредственно по этой матрице, а именно, коэффициент "а0" равен среднему арифметическому значению откликов. Для нахождения коэффициента "а " надо сложить попарные произведения элементов столбца v. и столбца у, а затем полученную сумму разделить на число опытов: \r\nУ1 + У 2 _±_Уз + У4 4

ao = ^ (6.4) \r\nУ1 + У 2 - Уз - У4 4

У1 - У2 + Уз + У4

a = 4 (6.5)

ao = 4 (6.6) \r\nМатематическая модель в естественной форме получается обратным переходом от относительных переменных к натуральным.

Так же легко вычисляются коэффициенты линейной модели для любого числа факторов и произвольной матрицы планирования, удовлетворяющей свойствам ортого-нальности, симметричности и условию нормировки.

Выбрав математическую модель, в дальнейшем надлежит дать статистический анализ уравнения регрессии, который включает в себя две основные задачи: оценка значимости коэффициентов регрессии и проверка адекватности математической модели.

что факторы x, x2,...,xk изменяются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении отклика "у";

что случайные величины "Уп" независимы и имеют нормальное распределение;

что дисперсии "Уп" одинаковы и равны S2 (У).

Вообще говоря, достаточно считать, что дисперсии "у " однородны. Соответствующая характеристика однородности дисперсий называется дисперсией воспроизводимости и обозначается S2(y). Для проверки однородности нескольких дисперсий и вычис-ления дисперсии воспроизводимости, каждый из опытов проводят несколько раз.

Предположим, что .-й опыт проведен "n" раз, и пустьУ(1), У(2), ....У (n) - результаты .-й серии опытов. По ним можно определить среднее значение откликов в -м опыте

82 \r\n1 Kn

(6.7)

У, = n I У,\'"

" j=1 \r\nчисло степеней свободы

rn=n-i (6.8)

и несмещенную оценку дисперсии отклика в i-м опыте \r\n1 n

(6.9)

n

п -

S 2n = ~ !\'Уп] - УП) 2 1 j =1

j=

В качестве дисперсии воспроизводимости S2(y) берется среднее взвешенное дисперсией ,-го опыта с весами, равными числу степеней свободы i-го опыта, т.е. \r\n2

n

I rnS \r\nS 2\'У) = (6.Ш)

I Гп

n=1

Проверка однородности дисперсий S2n при равномерном дублировании проводится по критерию Кохрена, а при неравномерном - по критерию Бартлетта. Указания по применению этих критериев можно найти в литературе по регрессивному анализу.

Оценка значимости коэффициентов регрессии осуществляется исходя из принятой математической модели - "Как следует из формулы (6.2), коэффициенты "b " математической модели являются линейными комбинациями случайных величин "У ", распределенных по нормальному закону. Это позволяет использовать для проверки значимости коэффициентов "b " регрессии критерий Стьюдента.

При обработке рядов динамики, отражающих исследуемое явление, наиболее часто встречающимися математическими моделями (зависимостями) являются: прямолинейные, параболлистические, гиперболические, выражаемые уравнениями:

у = ax + b; (6.11)

у = ax2 + bx + c; (6.12)

a

У = J + b (6.13)

Применение отмеченных выше уравнений, не исчерпывает всех возможных случа-

ев.

В дальнейшем, в соответствии с выбранной математической моделью (уравнением), составляется система нормальных уравнений.

Например, требуется составить систему нормальных уравнений для математической модели типа:

у = ax2 + bx + c

Первое уравнение найдем путем умножения исходного на x2:

Xyx2 = a-Xx4 + b-Xx3 + c -Xx2

Второе уравнение получим, умножив исходное на x:

Xyx = a-X x3 + b-X x2 + c-X x

83 \r\n

Третье уравнение получим, умножив исходное на 1:

X y = a-X x2 + b-X x + c-n,

где n - количество точек (опытов), по которым производится расчет выравненной линии (отклика).

Таким образом, получена система трех нормальных уравнений с тремя параметрами a, b, с, которые и требуется найти.

Для решения системы нормальных уравнений строится вспомогательная таблица, в которой рассчитываются значения всех переменных, стоящих под знаком сумм.

Подставив эти значения в систему и решив ее обычным способом, находим искомые параметры (коэффициенты регрессии) математической модели и окончательный вид уравнения связи.

Проверка адекватности регрессионной модели позволяет установить, будет ли построенная модель предсказывать значения отклика (у) с той же точностью, что и результаты эксперимента. Обязательным условием при этом является ненасыщенность плана эксперимента. Это значит, что число проводимых опытов должно быть больше числа искомых коэффициентов модели, т.е.

N > m+1.

Для оценки адекватности вычисляется остаточная дисперсия Б2ост., характеризующая рассеяние экспериментальных точек от точек, полученных по уравнению регрессии:

1 N -

S 2ост-= N _ m _ 1 2(Уп _ Уп) 2 (6.14)

где yn - экспериментальные значения отклика в n-м опыте, а

yn = 2bjFjn = 2bjFj(xn1 ,xn2\'¦¦¦\'xnk) - значение отклика в n-м опыте, рас-

j=0 j=1

считанное по уравнению регрессии.

Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F-распределения. С этой целью образуется отношение остаточной дисперсии к дисперсии воспроизводимости:

2

S

ост

F pacn. = s 2(y) (6-15)

которая сравнивается с критическим значением F-распределения F ., полученным по таблице (распределением дисперсионного отношения Фишера) при заданном уровне значимости "а" и степени свободы r1=N-m-1 для числителя и r2 = U0-1 - для знаменателя.

Если F .< F ., то гипотеза об адекватности принимается и математическая модель

расп кр 7

может быть использована для описания объекта. В противном случае - гипотеза отвергается.

Чтобы упростить проверку на адекватность, в практике часто считают достаточным, чтобы выполнялось неравенство F < 0,1- 0,2

расп. 7 7

и в этом случае модель предполагается адекватной.

И так, подведем итог исследования в маркетинговой службе, для чего перечислим основные этапы нахождения математической модели по опытным данным (данным наблюдений):

Разделение параметров объекта исследования на факторы xrx2,...,xk и отклики У 1,y2\'...\'УП

Определение диапазона варьирования факторов a84 \r\nПереход к относительным переменным ni.

Выбор вида математической модели; установление числа искомых коэффициентов ш+1.

Выбор плана проведения эксперимента.

Проведение эксперимента по составленному плану. Запись экспериментальных данных.

Использование метода наименьших квадратов для получения коэффициентов функций (Y).

Оценка значимости коэффициентов.

Проверка адекватности.

Интерпретация результатов и их примечание для дальнейшего исследования.

Приведенный перечень этапов только приближенно отражает реальную последовательность действий при исследовании, так как многие этапы оказываются взаимосвязанными. Кроме того, в ряде случаев приведенный выше перечень этапов следует дополнить:

Предварительным анализом входных данных (подобно тому, как производят очистку рядов динамики при техническом нормировании).

Проверкой статистических гипотез о нормальном распределении входных параметров, об их статистической независимости.

Проверкой значимости множественного коэффициента корреляции и т.п.

Для обработки результатов эксперимента в настоящее время существует большое количество программных средств для различного класса вычислительных машин.

В качестве примера, рассмотрим прогноз потребности предприятий, занимающихся лесозаготовками, в тракторах ОАО "ОТЗ" на основании разработанной нами методики, т.е. по уравнению:

N = a + BQ,

y

где Ny - годовое количество сбыта тракторов ОАО "ОТЗ" в расчете на 1 млн.мЗ объема лесозаготовок;

Q - годовой объем лесозаготовок, млн.м3:

а, b - коэффициенты, учитывающие изменения функции тренда.

Данная функция прогнозирования обосновывается характером изменения годового \r\n^{tluwtHiwV объема лесбзаготовок за

период 1990-96

Ny Hl.lpgn-

шшений:

сбфта т ра кто ]4tfB*(MG с\'ЛТЗ.ч с«<ра ачоте

норм^чьных

гг.

ZN

Q = a¦

{JNJ шт.

Im.ij.M „ (Ny)

-XiV а п. 2

ШЙп

CTI

ПОД

Е

oj[m ЖтУ о га тс л ь fa б л ц ц\\ и1йакодш|1 \r\nЗНс

KO}i>C!i|\\i\\

:бя, 9

9116

33,7

91 16

72307,2 3 1.9

1.9.

Таблица \r\n1992

6349

26.7 17,У 10,7

634У 31 26 1276

55W1.6

14137,2

27.4 1К.2 10,1

23ЭЛ

ЮТ

3126 "ТТтй"

1237

174,6

1944 1995

I

10,8

"5,9 ?140,*

1237 ЕП\'Ш"

13133,2 | 9025.0 !

9.5

1996

556 132321

1 1Я,9 И 4,6

Итого: LW7 1W8

!

"11314,1 100.0 105-110 \r\n85 \r\nРешаем систему нормальных уравнений: 32321 = а-1314,1 + ?-287196,4 140,8 = а-7 + ?-1314,1 Находим, что а = -7,183, b = 0,1454

Таким образом, искомое уравнение связи годового сбыта тракторов ОАО "ОТЗ" в расчете на 1млн.м3 объема лесозаготовок имеет вид N = -7,183+0,1454-2

Прогнозируемое количество сбыта тракторов ОАО "ОТЗ" в год определяется по уравнению: N=N Q и составит:

для 1997 г. - N= (-7,183+0,1454-100) = 736 штук для 1998 г. - N=(-7,183+0,1454-105) = 849 штук N=(-7,183+0,1454-110) =969 штук Как показывает опыт работы лесозаготовителей в 1995 и 1996 гг., ожидаемые объемы добычи лесопродукции фактически не были достигнуты. Так, в 1995 г. при ожидаемом объеме лесозаготовок 119 млн.м3, фактически было заготовлено 114,6 млн.м3 (96,3%); в 1996 г. при ожидаемом объеме лесозаготовок 114,млн.м3, фактически было заготовлено 95 млн.м3 (83,33%).

В результате сложившихся обстоятельств на лесозаготовках в 1997 г. следует ожидать, что ожидаемый объем лесозаготовок в 100 млн.м3 будет фактически не более 85-90 млн.м3 (в среднем принимаем 87,5 млн.м3). Для этой ситуации прогнозируемый сбыт тракторов ОАО "ОТЗ" в 1997 году превысит N = (-7,183+0,1454Ч87,5) -87,5= 485 единиц.

Для 1998 г., соответственно, прогнозируемый сбыт тракторов ОАО "ОТЗ" составит: N= (-7,183+0,1454-102) = 780 единиц\r\nГиди (Qi - Q) (Q.-Q\'r (Tv.j-Nj) Wi-QK-Nvi-Ni)\r\n19У0 11673 13525,69 1S.D 225,00 1 744,50\r\n1991 B]?2 63».44 13.6 184,96 1104,32\r\nmi 50?4 2540,16 6,6 43,56 332,64\r\n1993 -13.1 171.61 4,84 2 8.112\r\n1994 -6S,8 4733,44 -9.4 ?S,36 646,72\r\n1995 -73,1 5343.61 -U.3 ёб.49 Ы9, ВЭ\r\n1996 -9267 H593,29 -14,2 : oi,64 13)6.34\r\n 41^1,24 n \r\n86 \r\n

Найдем коэффициент корреляции между объемами лесозаготовок и количеством сбыта тракторов ОАО "ОТЗ" в расчете на 1 млн.м3 в период с 1990 г. по 1996 г. по формуле:

S(Qi -Q)-(NV1 -Ny)

t =

VS(Qi - Q)2-(Nyi - Ny)2 Промежуточные вычисления расположим в виде таблицы 4.10.

Таблица 4.10.

Вычисляем среднее: Q = 1314,1 / 7=187,7

N =140,8 / 7= 20,1

y

Заполняем столбцы и, суммируя элементы в соответствующих столбцах, находим: 2 (Q-Q)2 = 41501,24

Z(Ny-N)2 = 834,85 2(Q-Q)- (Ny-Ny) = 5853,17

Подставляя вычисленные значения в выражение , получаем:

5853,17 5853,17

r = , = — = 99,44

V41501,24-834,85 5886,20

Вывод: между объемами лесозаготовок и количеством сбыта тракторов в расчете на 1 млн.м3 объема лесозаготовок в период с 1990 года по 1996 год существует тесная положительная линейная корреляционная связь.

Среднеквадратическое отклонение по данному хроноряду имеет следующий вид:

834,85

G = — = 11,8

7 -1

Ошибка средней арифметической, (%)

G - 100 11,8-100

р = ^ = = 22,2%

л/п- Ny 47- 20,1