<<
>>

Общий случай

В предыдущих разделах мы рассмотрели задачу минимизации продолжительности мультипроекта для случая вогнутых зависимостей скорости проекта от количества ресурсов. Рассмотрим теперь общий случай.

Пусть fi(ui) - произвольные, ограниченные, непрерывные справа функции, такие что fi(0) = 0.

Определим множество Y - пар (u, w) - следующим образом:

Yi = {(ui,wi)> 0: Wi ? fi(Ui)} . (4.1)

Заметим, что если fi(ui) - вогнутая функция, то Yi - выпуклое множество. В общем случае множество Yi не является выпуклым. Построим выпуклую оболочку этого множества, то есть выпуклое множество Yi такое, что любая его точка представима в виде выпуклой линейной комбинации точек множества Yi. Граница fi (ui) этого множества, очевидно, является

вогнутой функцией. Рассмотрим задачу минимизации продолжительности мультипроекта, в котором скорости проектов определяются зависимостями { fi (ui)}. Поскольку это вогнутые функции, то применяя

методы, описанные в разделах 2 и 3, можно определить оптимальное распределение ресурсов {ui0} и минимальную продолжительность Tm мультипроекта.

Теорема 2. Минимальная продолжительность мультипроекта равна

T.

Доказательство. Ранее было показано, что в случае вогнутых зависимостей {fi(ui)} в каждом интервале постоянства уровня ресурсов, все

проекты выполняются с постоянной скоростью. Обозначим w^ - скорость, - количество ресурсов на i-ом проекте в k-ом интервале. Поскольку точка {

uik, Wjk) Е Yi, то найдутся точки {u^, Wik}, {u^k,

wik} и 0 < а < 1, u.k < ujk, такие что

ufc =auik +(1 -a)uik w0k =awJk +(1 -a)wik.

Построим следующее распределение ресурса на проекте i в интервале k:

uL Аk-1 < t <Аk-1 +aTk

(4.2)

uik(t) =

uL Аk-1 +aTk Содержательно это означает, что часть aTk интервала k проект выполняется с количеством ресурса u.k, меньшим оптимального, а часть (1-a)Tk - с б ольшим оптимального.

При этом, не израсходованный в интервале [А^, Аы+aT) ресурс переносится в интервал [Аы+aT^ АД так что общий объем используемого ресурса не меняется. Действительно,

uL ^aTk + 4 •(1 -a)Tk = < • Tk.

Таким образом, распределение ресурса u. k(t) является допустимым.

Покажем, что при новом распределении ресурсов в интервале k будет выполнен тот же самый объем работ по проекту i. Действительно:

wL -aTk + w2k •(1 -a)Tk = w0k • Tk.

Выполняя описанное преобразование всякий раз, когда точка (u^, w^) не принадлежит множеству Y., мы получили допустимое распределение ресурсов с тем же сроком завершения мультипроекта. Поскольку Tm является оценкой снизу продолжительности мультипроекта, то Tm - минимальная продолжительность мультипроекта. Теорема доказана.

Пример 4.1. Пусть зависимости скорости проекта от количества ресурсов являются выпуклыми функциями при u. < a. и равны f.(a.) при u. > a. (рис. 4.1).

a. u

Рис. 4.1.

В этом случае зависимость f. (u.) всегда будет иметь вид:

~ jui5 u. К, u. > a. f. (a.)

Мы получили задачу распределения ресурсов для случая линейной зависимости скорости от количества ресурсов, рассмотренную в разделе 1.

max I;

T j W

Tm = maX | "N

Таким образом, в этом случае всегда существует план реализации мультипроекта, в котором каждый проект выполняется за время t. = W. /a. при уровне ресурсов на нем u. = a.. Продолжительность мультипроекта в случае, если уровень ресурсов постоянен и равен N определяется выражением:

где W^, = у W. . При этом, всегда существует план, в котором все проекты

i=1

выполняются без перерывов. Чтобы получить такой план, достаточно определить моменты начала проектов следующим образом:

tH = Tm . = 1,П.

Если теперь сдвигать проекты максимально влево в очередности убывания степеней критичности {т.}, то получим левосдвинутый оптимальный план реализации мультипроекта.

Пусть N = 11.

Тогда

Пример 3.1. Данные о проектах приведены в таблице:

Таблица 3.1.\r\ni 1 2 3 4 5\r\nWi 12 15 18 12 9\r\nat 2 3 4 3 6\r\nti 6 5 4,5 4 1,5\r\n

T = W = 66 = 6 m N 11

Мы можем начать проекты 1, 2 и 3 сразу, в момент t = 0. Определим самый ранний момент начала проекта 4. Для этого построим интегральный график наличия свободного ресурса при условии, что проекты 1, 2 и 3 начинаются в момент t0, а проект 5 в момент t = 4,5 ( рис. 4.2). Этот ресурс можно использовать для проекта 4.

Закрашенный треугольник это график использования ресурса на проекте 4. Легко видеть, что сдвиг влево этого треугольника невозможен. Аналогично пятый проект также не может быть начат раньше момента t5K = 4,5.

<< | >>
Источник: Бурков В.Н., Квон О.Ф., Цитович Л.А.. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ МУЛЬТИПРОЕКТНОГО УПРАВЛЕНИЯ -М., 1997 (Препринт / Институт проблем управления). - 62 с.. 1997

Еще по теме Общий случай:

- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -