6.1.2. Процентные облигации и векселя
Тогда временная последовательность купонных платежей может быть отображена вектором на оси времени с координатами
Т - Т
т; - і X Дт + Ті, Дт - МК і, і - 1, ...,К (6.22)
Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет вид:
К-1
С(1) = С БК (1) + X СД1), (6.23)
где
i = index (Xj I тj_J < t < тj, т0 = Tj) - (6.24)
номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,
T -1
C БК (t) = (N + AN) X exp ( - X r ), (6.25)
Cj(t) - AN x exp ( - jpx r), j = i,...K -1, (6.26)
TM - Tj
моменты ТІ определяются соотношением (6.22), а внутренняя норма доходности долгового инструмента г отыскивается как корень трансцендентного уравнения вида
С(Ті) = N0. (6.27)
Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному выше случаю дисконтной бумаги.
Анализ соотношений (6.25) и (6.26) показывает, что шум цены, тренд которой имеет вид (6.23), является нелинейно затухающей кусочной функцией на каждом интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы две составляющих: глобальную - для всего периода обращения бумаги, и локальную - на соответствующем моменту 1 интервале накопления купонного дохода.
Исследуем характер шума цены процентной бумаги:
8(1) - Н(1) - С(1), (6.28)
где С(1) - тренд цены - определяется по (6.23).
Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере дисконтных бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:
о(1) - О0 X х(1) (6.29)
где
ЛN Кр , т-- 1 л т-- 1 № + Д^ , Тм -1 .
Тм -1 Ш) X > ехр ( - X г) X — + ^ X ехр ( м X г ) X ,4 \' "X Т ± \\ гр гр \' Гр Гр -к Г IV гр гр / гр Т
^ -=1 1м 11 1м 11 ^ 1м 11 1м11
(6.30)
а 1 определяется по (6.24). Соотношение (6.30) является частной производной справедливой цены (6.23) по показателю внутренней нормы доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.
Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к стационарному будет иметь вид:
8 * (1) - 8(1) /Х(1), (6.31) \r\nгде Хф определяется по (6.30). При уменьшении величины купона до нуля соотношение (6.29) переходит в (6.9), что косвенно подтверждает правоту наших выкладок.
На рис. 6.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а на рис. 6.4 - примерный вид СКО такой бумаги.
\r\n
Рис. 6.3. Функция справедливой цены процентной бумаги
Ит
\r\n
\r\n
Рис. 6.4. Функция СКО процентной бумаги
Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (6.12) - (6.13) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:
, = И(1 + Т)-И(1) + тхАК = С(1 + Т)-И(1) + тхАК + є(1 + Т) (6 32) 1 Иф х Т Иф х Т Л \' \'
где т - число оплаченных купонов процентной бумаги за период Т.
Вывод о том, что случайный процесс Я(1;, Т) имеет в своем сечении нормальную величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной величины: \r\n
щ,, Т) |Н(0 = (6.33)
в (\