6.1.1. Дисконтные облигации и векселя
Пусть X - момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу. Определим ее справедливую рыночную цену С(Х). Это выражение и является трендом для случайного процесса цены бумаги.
Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год. Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце п - го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (к+1) - го года обращения бумаги, имеет вид:
С(к) = —^ (6.1)
(1 + г)п-к 4 7
где г - внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:
г = ^т0)1/п -1. (6.2)
Формула (6.1) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.
Получим аналоги формул (6.1) и (6.2) для непрерывного времени, предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом. Разобъем весь период обращения ценной бумаги [Т1, Тм] на интервалы числом п и длительностью
А = (Тм - Т:)/п. (6.3)
Обозначим 1 = Т + к * А и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (6.1) и (6.2). Это дает:
= г хА Тк1 , (6.4)
(1 + -гХА-) А Тм - Т/
Т - Т
г - ( (N/N0)^ -1)х м 1 . (6.5)
Предельный переход в (6.4) и (6.5) при А ^ 0 дает:
Т -1
С(1) = N х ехр ( х г), (6.6)
г = 1-—. (6.7)
N0 4 \'
Рис.
6.1. Функция справедливой цены дисконтной облигацииЭто и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (6.5) представлен на рис. 6.1.
Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:
— = N х ехр ( - Тм ~1 х г) х (- Тм ~1 ). (6.8)
А N гтч гтч \' ^ гт~1 гр \' \\ /
5г Тм - Т1 Тм - Т1
Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:
Т - і Т - і
а(1) = а 0 х ехр ( -Т^-І х г) х Тм_1 (6.9)
ТМ Т1 ТМ Т1
Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 6.2.
С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить Н(1:). Тогда шум процесса имеет вид
8(1) - Н(1) - С(1), (6.10)
где С(1) - тренд цены - определяется по (6.6). \r\n
Тіт е
Рис. 6.2. Ожидаемый вид функции СКО
Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего делителя
41) = 8(1) /{ ехр ( X Г) X }. (6.11)
Тогда процесс є (1) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО а0. И определение фактического значения параметра а0 этого процесса может производиться стандартными методами.
Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового инструмента, в процентах годовых:
К(1, 1)|И(1) = Н(1 + т)-Н(1) = С(1 + т)-н(1) + в(1 + т), (6.12)
1 Н(1) X т Н(1) X т 4 \'
где Т - период владения долговым инструментом.
Заметим здесь, что рыночная цена Н(1), измеренная в момент 1, не рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно.
Эта же цена неизвестна в будущем времени (1 + т) и является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(1 + т) и СКО а (1 + т) (эти функции вычисляются по формулам (6.6) и (6.9)).8
Случайный процесс доходности на интервале [1, 1+т] в сечении имеет параметры: \r\n
Т) |Н(1) - С(1Н^(Т)) - ^ - матожидание , (6.13)
0 а\'Т)ін(*) - Н^Т) - ст (614)
Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации. Расчетный пример 6.1
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени Т1 = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2 года с дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени X =1. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет Н(1) = 820$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации Я(Х=1, Т) на протяжении оставшегося года владения ( Т е [0, 1] ) как случайный процесс и определить параметры этого процесса.
Решение
Согласно (6.6), (6.7), внутренняя норма доходности нашей облигации составляет
г = 1п(1000/700) = 35.67% годовых, (6.15)
а справедливая цена
С(Х) = 1000*ехр(-(2-Х)*0.3567/2), X е [0, 2]. (6.16)
Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (6.9), имеет вид
2 - X 2 - X
оф = о0 X ехр ( X 0.3567) X(6.17)
где а0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (6.11).
Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (6.13), (6.14). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, С(2) = 1000$, а(1+1) = 0, е(1+1) = 0, и Я(1,1) = (1000- 820)/(820*1) = 21.95% годовых - неслучайная величина.
Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой, задавшись параметром СКО шума а0 = 20$. Тогда
C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (6.18)
2 -15 2 -15
o(1.5) = 20 x exp ( — x 0.3567) x —— = 4.5$, (6.19)
R(1, 0.5)|H(1) - CH(5)- ^ - 22.9% годовых , (6.20)
0 (1,0.5)H(1) - °(15) - 1.1% годовых. (6.21)
H(1) x 0.5 V 7