1.4. Конверсия платежей
Наиболее простой вид принимает уравнение эквивалентности при консолидации платежей, когда платежи Slf S2, Sm со сроками оплаты соответственно nh п2, ... , пт заменяются одним в сумме S0 И сроком оплаты п0. Здесь возможны две постановки задачи: если задается срок п0, то находится сумма S0 и наоборот. При заданном п0, если консолидация производится по ставке простых процентов і, размер консо-лидированного платежа
So = XS/0 + *УО+Х5*0 + \'*О~\'. (21)
І к
где Sj - платежи со сроками оплаты < п0, tj = п0 ~ nf, Sk - платежи со сроками оплаты nk > п0, tk = nk - п0.
Формула (21) получена из уравнения эквивалентности, в котором в качестве базисной даты выбрано п0. Формулы, аналогичные формуле (21), можно записать и для случаев, когда консолидация платежей производится на основе банковской учетной ставки и ставки сложных процентов (надо учесть, что в этих случаях в формуле (21) изменятся множители наращения и дисконтные множители).
Если требуется определить время п0 оплаты консолиди-рованного платежа S0, составляем уравнение эквивалентности, выбрав в качестве базисной даты начало отсчета. Разрешив уравнение эквивалентности относительно п0, для ставки простых процентов і (ставки "приведения") получаем
= Q = ZSj{\\ + nji)-1. (22)
Очевидно, что формула (22) имеет смысл только для S0 > Q, т.е.
если размер консолидированного платежа не будет меньше "барьерного" значения Q. Таким же образом определяют время оплаты, если консолидация платежей производится на основе банковской учетной ставки и ставки сложных процентов.Пример 1.4.1. Имеются три векселя с датами погашения, указанными в скобках, на сумм^у 12,5 тыс. (8.047; 7,25 тыс. (15.07) и"10,3 тыс. $ (23.11)."Решено заменить их одним векселем на основе, банковской учётной ставки 7 % годовых с оплатой З.ОЗ.\'Какую сумму следует поставить в новом векселе, если базовой для расчёта выбрана дата 3.03?
Пусть S - сумма нового векселя. Составим уравнение экви валентности:
12,5(1 - . о,07) + 7,25(1 - Щ^-62 . 0>07) +
+ 10,3(l-22Z_=_62.0)07) = S.
Проведя расчёты, получим S = 29242,86$. ¦
Пример 1.4.2. Платежи в сумме 8,25 тыс., 10,05 тыс. и 25,45 тыс. $ со сроками оплаты соответственно через 2; 3,5 и 4 года должны быть заменены одним платежом, содержащим целое число тысяч долларов. Замена производится на основе сложной ставки 8,75% годовых. Чему равна минимальная допустимая сумма платежа и через какой срок он должен быть оплачен?
Обозначим через S сумму заменяемого платежа, через п - срок оплаты этой суммы. Запишем уравнение эквивалентности, выводя все платежи на начало отсчёта: 8,25 • 1,0875_2 + + 10,05 ¦ 1,0875-3\'5 + 25,45 ¦ 1,0875~4= 5 • 1,0875"". Лога-рифмируя обе части этого уравнения, получаем
_ 1оР - 1п32,66474069 тч
п ІПІ.0875 • * 6)
Формула (23) имеет смысл только тогда, когда 5 > 32,66474 тысяч. Следовательно, требуемая сумма S = 33 тысячи. Подставляя это значение в формулу (23), имеем п = 0,122 года. ¦