Антагонистические игры

Н общем случае двух : ыртнерин-сопериикпв, имеющих в споем распо ряжении, соответственно. п и т стратегии, та южная м,. грпца Н имеет вид

Основное допущение теории игр состоит н том, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при нобых действиях других и.роков.

Аналогичным образом строггтея и стратегия игрока 2 — максимпзггро- вать величину снсгеш выигрыша (минимизировать его проигрыш), т. е. поиск минимума по возможным максимумам в столбцах матрицы Н:

Указанный выбор стратегий называется мпНбиминпой го стороны 1-го шрика — его выигрыш в любом случае будет не меньше макенмпнно- п> значения (или томней цены игры)-.

для 2-го игрока выбранная стратегия называется минимаксной, и его прон1рмш не будет превосходить минимаксного значения (или верхней цепы игры)

то значение ки называется ценой и еры а зле мент Агу матрицы выигрышем, равным /г*, седчовои точкой матрицы Н.

Пример 1. Пус гь у игрока 1 две стратег им, а у игрока 2 — три стратегии, причем матрица выигрышем д тя игрока 1 имеет вид

Найти с, тлоную точку матрицы И. т. е. определить цену игры.

Решение. Выбор игрока 1 — это первая строка матрицы Я, поскольку при выборе \'-Й строки игрок 2 будет придерживаться стратегии проигрыша первого игрока, равного -1. Сопато критерию (13.2), игрок 1 придержи лается своей первой стратегии, обеспечивающей ему выигрыш, равный I. Игрок 2 рассматривает свои худшие варианты при условии выбора игроком 1 своей первой стратегии — строки 1 матрицы -И:

Игрок 2. согласно критерию (13.3), выберет свою вторую стратегию, соответствующую второму столбцу матрицы -И, т. е. когда его проигрыш минимален и равен 1. Таким обра юм, седловой точкой матрицы выигрышей является элемент 1-

Следует заметить, что не всегда существует седловая точка матрицы выигрышей, а значит, не веет да есть выбор максиминной стратегии или решение матричной игры й чистых стратегиях. Тогда для каждого из игроков становится важным, чтобы соперник не угадал выбора его стратегии. В таком случае используются смешанные стратегии, при которых реализуется схема случайного выбора чистой стратегии.

На множестве смешанных стратегий игрок 1, (тремящннея достичь наибольшего на гарантированных выигрышей, выбирает вектор вероятностен р так, чтобы получить максимум мпннма тьиых значений ожидаемы х в ы 11 тр ыши\'1 і. е. реш ае і задачу максими на м д е.матн четкого ожидания

і.

Как и да я случая ращения в чистых стратегиях, стратегия р * игрока 1 называется максиминнон стратег иен. стратегия ^ игрока 2 называется минимаксной стратегией, а значение Л/„ — ценой игры.

Пример 2. Найти решение игры, имеющей платежную матрицу

Ришение. Нетрудно увидеть, что данная магрімги не имеет седловой точки, так как = -2, а М, = 3 и криГерин (13.5) нс выполнен. Следовательно, данная шра имеет решение п смешанных стратеги їх. Пусть оптимальные страт п ни трюков определи юте я, соответственно, векторами вероятностен р =(рг р,) и 7/ =(т/г д2), компоненты которых удовлетворяют условиям нормировки

Поскольку, согласно критерию (13.8), ищется максимум функции выигрыши для 1-го игрока, то в силу теоремы о миннмаксе, подставляя в зю равенство вместо М значение Ма, получаем что для оптимальных ВС] И )Н ГН ОС ГС н Р, 11 р. должно быть ВЫ [то лиспе раВСНО во

Совместное решение Ьтого уравнения с нормировочным устий нем ДІЯ р1 и /а приводит к решен шоддя оптимальной стратегии первого и трока: р1 =7/12, р1 =5/12.

Б случае кооперативной игры с двумя игроками предполагается, что игроки не могут воздействовать друг на друга до тех пор, пока не придут к некоторому соглашению. В этом случае игра (вернее, ее И скиды)

представляется как множество Л" на плоскости общих выигрышей А, и }ц (рис. 13.1). Замаются значения выигрышен 7’, п Тг, которые могут получить, соответственно. 1-й и 2-и игреки без коп перш ши с партнером. В пред положении о том, что множество 5 является выпуклым, замкнутым и ограниченным сверху, можно доказать, что оптимальные решения находятся на правив верхней границе этого множества. На этой границе выделяется множество Р Паретиоптимальных ре -

шет/и, на котором увеличение выигрыша одного на т роков возможно только за счет уменьшения выигрыша его партнгра. 11а множестве Р точками Т и Т\'г ограничено пероворние множество А\'; оно характерно гем. что игрокам нет смысла вести переговоры относительно решении вне его, так как либо положение одного на п.ршащ может быть улучшено без ущерба для партнера, либо пн может достичь лучшего вынфыща а одиночку. На переговорном множестве выделяется точка АР*. соответствующая равновесию но Ншп, — точка Иэша в ней достигается максігмум произведения

в котором сомножители прело являют собой превышения выигрышей каждого из игроков ііад платежами, которые могут бьпь получепы игроками без кооперации. Точка Наша является одним из возможных решений кооперативной игры, наиболее привлекательным для партнеров.

Пример 4. Кооперативная игра дается бі[матрицеи выигрышей

у/и ИМ I I I V 1 г • » р ^

ставляет сооой Парето -оптимальное множество: т велнчегше вы ифыша одного ифока возможно только за счет партнера. Точка Г(4, 4) определяет выигрыши, которые НфОКИ могут получить без взаимодействия с партнером. Переговорное множество N (отрезок Т[Т\'2) лежит на линии АВ. 11а этой линии находится точка Нэша ^ (5. 5) — в ней произведение (Л, - 5) (Н2 - 5) для точек (Л„ Л2), лежащих вне множества N. принимает наибольшее значение.

13.1.1.