Модели систем массового обслуживания

характеристик могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания. Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями.

а) пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;

б) стандартное поведение клиентов;

в) правило обслуживания FIFO (первым пришел — первым обслужен);

г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А — модель одноканальной системы массового обслуживания М/М/1 с пуассоновским

входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания. Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

Заявки обслуживаются по принципу «первым пришел — первым обслужен» (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.

Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.

Темп обслуживания выше темпа поступления заявок. Пусть l — число заявок в единицу времени;

m — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени; п — число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными ниже. Формулы для описания системы М/М/1:

ч

И А,

^ — среднее число клиентов в системе;

— среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

4 М- (М- X) — среднее число клиентов в очереди; W= Х

4 И X) — среднее время ожидания клиента в очереди;

^ — характеристика загруженности системы (доля времени, в течение которого система занята обслуживанием);

—

вероятность отсутствия заявок в системе;

Р0= 1- —

X u+i

Рц>к

"(f)

— вероятность того, что в системе находится более чем к заявок.

II.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания — экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно использовать соответствующее программное обеспечение.

r

Для многоканальной системы с неограниченной очередью должно выполняться условие n < 1, где r — параметр загрузки системы (среднее число занятых каналов), п — минимальное количество каналов, при котором очередь не будет расти до бесконечности. В противном случае предельные вероятности существовать не могут.

Формулы для описания системы M/M/S:

р _ /, + г , г2 , , г" /•"+\' \\-i

^о-И + U + + пЧп - г) ) б

х v >\' —вероятность того, что система свободна;

" я! 0 — вероятность того, что в системе находится п заявок;

гп+1

Р = \' р

ч п\\(п - г) 0

v \' — вероятность того, что заявка окажется в очереди;

Ц — среднее число занятых каналов; г"+] Р0

Lq іЛ rV

п-п\\ 11 1

\\ n / — среднее число заявок в очереди;

+ г — среднее число заявок в системе;

^ 9 — время нахождения заявки в очереди;

X *— время нахождения заявки в системе.

III. Модель С— модель с постоянным временем обслуживания M/D/1.

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей.

I =

4 2ц(ц — А,)— средняя длина очереди; W= Х

9 2ц(}1 X) — среднее время ожидания в очереди; s ? М- — среднее число клиентов в системе;

s 9 ц

— среднее время ожидания в системе. IV. Модель D — модель с ограниченной популяцией.

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая задача может возникнуть, например, если речь идет об обслуживании оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотренными ранее в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е — модель с ограниченной очередью. Модель отличается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограничено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все каналы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т.е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очереди сократить до нуля.

Сравнительная характеристика различных моделей систем массового обслуживания приведена в следующей таблице:\r\nМо-дель Название (техничес-кое наиме-нование) Пример Число кана-лов Число фаз Распре-деление време-ни по-ступ-ления заявок Распре-деление време-ни об-служи-вания Число клиен-тов Поря-док про-хожде-ния очереди\r\nА Простая система (М/М/1) Справочное бюро в мага-зине Один Одна Пуас-сонов- ское Экспо-ненци-альное Не-ограни-ченное FIFO\r\nВ Многока-нальная система (M/M/S) Кассы аэро-флота Не-сколь-ко Одна Пуас-сонов- ское Экспо-ненци-альное Не-ограни-ченное FIFO\r\nС Равномер-ное обслу-живание (М/D/1) Автомати-ческая мойка Один Одна Пуас-сонов- ское По-стоян-ное Не-ограни-ченное FIFO\r\nD Ограни-ченная по-пуляция Самолеты небольшой авиаком-пании Один Одна Пуас-сонов- ское Экспо-ненци-альное Огра-ничен-ное FIFO\r\nЕ Ограни-ченная длина очереди Количество посадочных мест в парик-махерской Не-сколь-ко Одна Пуас-сонов- ское Экспо-ненци-альное Огра-ничен-ное FIFO\r\n…