2.4.2. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ И ИНДЕКСНОМ ЭКОНОМИЧЕСКОМФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ

Как было указано ранее, основная задача (абсолютного) экономического факторного анализа заключается в получении факторного разложения приращения результирующего показателя в виде некоторой его зависимости от абсолютных приращений факторов модели.

По аналогии, основная цель относительного экономического факторного анализа может быть сформулирована как задача нахождения факторного разложения в терминах относительных приращений, которые, в свою очередь, могут определяться по-разному [2, 46].

Придерживаясь концепции единой методологии факторного анализа для различных видов представления изменений показателей, применим ранее изложенный метод Лагранжа, опирающийся на теорему о промежу-

97

точном значении для случая анализа относительного изменения факторов и обобщающего показателя.

В качестве примера для иллюстрации применения теоремы о промежуточном значении в относительном экономическом факторном анализе рассмотрим такой часто используемый на практике показатель как коэффициент эластичности [70, 88], который показывает относительное изменение исследуемого показателя под действием некоторого единичного относительного изменения фактора, от которого он зависит, при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Так, например, величина эластичности покупательского спроса на продукцию по её цене вычисляется по формуле

eP (q)

\'А* Л

\'Ар Л Р

где q - фактор объёма (оценка спроса); р - фактор цены.

Эластичность в этом случае показывает относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо (товар, услугу) при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

В общем случае, предельной (точечной) эластичностью функции y = f (х) называется предел отношения относительных изменений показателя y и переменной (фактора) х [46].

Ex (y)\r\nlim Ay /Ах = lim Ау х\r\nАх ® 0 _ У / х _ Ах ® 0 _Ах y _\r\nAy х lim — ¦— .

Ax ® 0 Ax y

Используя определение производной, выражение для эластичности может быть преобразовано к виду

dy х

х Ах) Ах)

f (х)

Ex ( у) = -г- = f\'(. х).- =

y х

y

х

Однако (см., например, [30, 33, 92]), при вычислении относительной величины прироста показателя, зависящего от некоторого набора факторов, абсолютные приращения факторов и показателя, как правило, относят к их начальным, базовым значениям.

dx y

n

Dxi

x

= Z /,

i=1

< e >

(x) ¦Sxi, (2.32)

/(x)

x

/i(x) ¦ xi / ( x)

EXi (У) =

При этом, исходя из предположения о малости приращений факторов, справедливо лишь приближённое равенство\r\n/ ( X) / / ( X ) А/ (х) / АХІ\r\n_ dxi - / _ Xi - ё / (х) J / _ xi _\r\nСоответственно, относительное изменение показателя в этом случае приближённо равно

Sy = Ay //(X) У i=i

где для любого значения х через

< e >

/і 4.x) = EXi (y)

обозначены частные эластичности функции / при изменении і -го фактора модели [27].

И действительно, в указанных источниках речь идёт, как правило, о приближённом анализе в предположении о предельной малости изменений факторов, что не противоречит определению предельной эластичности, но может не соответствовать реальным ситуациям, возникающим в процессе хозяйственной деятельности, когда приращения факторов не малы, но конечны.

В этом случае, точное разложение относительного приращения показателя можно найти с использованием теоремы о промежуточном значении. Отнесение абсолютных приращений факторов и результирующего показателя к их значениям xmi є (Xi; Xi + Dxi) и ym = /(xm) в промежу-

точной точке позволяет записать точное разложение

\\

n

/ ( xm ) Dx.

S АУ Sy = —

У

xmk

k

с

/(x

mJ 0

/(x)

xmk

(2.33)

" Z /k (xm ) k=1 n

= Z/k (Xm ) ¦ im/\'Smxk ,

k=1

где величина im / =

ym f (xm )

обозначает модифицированный индекс,

y /(x)

который описывает темп роста значения показателя при сравнении его значений в базовом периоде и в промежуточной точке xm , в которой достигается точное разложение приращения обобщающего показателя.

Формула (2.33) может трактоваться как «формула конечных относительных приращений для эластичностей».

Применяя полученный результат, выражение для эластичности результирующего показателя можно представить в виде

n

Е fi (xm) \'if ¦ 0mxi n

Ex(У) = ^ = ^ 0 = Еf(xm)¦ if . (2.34)

ox ox . J ox

i=1

Исходя из предположения, что абсолютный и относительный эконо-мические факторные анализы содержательно различаются только тем, какая используется характеристика измерения величины отклонения между плановым и фактическим значениями, рассмотрим далее применение теоремы Лагранжа как основного методологического подхода и для случая индексного экономического факторного анализа.

В качестве базовой модели для приложения теоремы о среднем значении для случая индексных показателей рассмотрим производственную функцию [53, 94, 95], которая математически может быть представлена в виде факторной системы

У = f (^ а) ,

где f - ожидаемый производственный результат;

х - вектор ресурсов;

a - вектор структурных параметров производственной функции.

Производственная функция выражает технологическую связь между выпуском продукции и ресурсами (затратами) [49, 134], то есть она представляет собой отображение, ставящее в соответствие любому вектору затрат единственное неотрицательное действительное число, а именно - величину максимального выпуска продукции, которая может быть достигнута при использовании данного вектора ресурсов.

Оценки параметров производственных функций рассчитывают на основе статистической информации.

Производственные функции чаще всего строят на базе степенных многофакторных зависимостей, то есть зависимостей вида:

n a a

У = а\'Пх\\ 1 = а\'xa1 -x2a2 \'...¦ xmm , ai < 1 "i. (2.35)

i=1

Функции такого вида называются степенными производственными функциями.

Степенную производственную функцию часто представляют в более удобном логарифмическом виде

n

ln y = ln a + Z a i ¦ ln Xi , i=1

эквивалентном (2.35) при Xi > 0, i = 1,...,n . То есть операция логарифмирования позволяет осуществить переход от мультипликативной производственной функции к аддитивной.

В настоящее время степенные производственные функции используются для моделирования широкого класса экономических систем.

На практике для определения объёмов производства при различной комбинации факторов часто используют производственную функцию Коб- ба-Дугласа [30, 38, 135], предложенную К.У. Коббом и П.Х. Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта и двумя важнейшими ресурсами - трудовыми ресурсами и основными производственными фондами:

у = * П Xa i = * ¦ X1a1 ¦ Х2 a 2 = а ¦ La1 ¦ С a 2, i=1

где L - фактор труда;

С - объём производственных фондов;

a - параметр степенной функции (фактор шкалы), определяемый на

основе статистических данных; ai - эластичность выпуска продукции по отношению к i -му виду ресурсов (затрат) (на сколько процентов изменится выпуск при изменении расхода ресурса на единицу). В более общем случае функцией Кобба-Дугласа называют типовую степенную производственную функцию (2.35).

При естественном предположении о положительности экономических величин выполним в производственной функции

y = F (х)

замену переменных

xi =ln xi, h = ln y, xi = exp ^i, y = exph, так что функция преобразуется к виду

h = lny = lnF(expX1,...,expxn) = F(X1,...,Xn) = F(X).

ln ix = ln X + D = ln( x + Dx) - ln x = DX, x

ln iy = ln F(x + Dx) = ln F(x + Dx) - ln F (x) = ДФ (X) = Dh.

F(x)

Применение теоремы Лагранжа для разложения приращения показателя h даёт точное факторное разложение

АЛ=ІФ;(Xm) -AXi . i=1

Возврат к исходным величинам приводит к соотношению

n

iy =exp Dh = exp

(2.36)

?Фі (Xm ) -DX;

V;=1

nn

= п (exp DX і) ф; (X m) = П (;x;)F; (xm) i =1 i =1 где частные эластичности

,F; x) =

a ln(x; ) F(x)

совпадают с частными производными

Ф; (X)^

aXi

Полученная формула (2.36) может трактоваться как «теорема Лагранжа для эластичностей и индексов» [25].

Для двухфакторной мультипликативной модели - производственной функции Кобба-Дугласа частные эластичности постоянны и совпадают с параметрами a;, так что следствием (2.36) является очевидное соотношение:

iy = iLai • iCa2,

или, в более общем виде, индекс степенной производственной функции вычисляется по формуле

iy = П (x)a 1. i =1

Таким образом, применение теоремы о промежуточном значении позволило найти точные выражения для представления зависимости относительного изменения (индекса) результирующего показателя от относительных приращений (индексов) факторов модели (производственной функции). 102