<<
>>

Тестирование стационарности

С осознанием опасности применения ОМНК к нестационарным рядам, появилась необходимость в тестах, которые позволили бы отличить стационарный процесс от нестационарного.

К неформальным методам тестирования стационарности можно отнести визуальный анализ графиков спектральной плотности и автокорреляционной функции.

В настоящее время самым популярным из формальных тестов является тест, разработанный Дики и Фуллером (DF).

Базовый порождающий данные процесс (ПДП), который они использовали, — авторегрессионный процесс первого порядка:

(A1)

yt = py t-1 + St.

При p= 1 это случайное блуждание. Конечно, вряд ли экономическая переменная может быть описана процессом (A1). Более реалистично было бы предположить наличие в этом процессе константы и тренда:

(A2) (A3) (A4)

yt = U0 + pyt-1 + St.

yt = j0 + j1 t + pyt-1 + St.

2

yt = U0 + U1 t + U2 t + pyt-1 + St.

Нулевая гипотеза в тесте Дики-Фуллера состоит в том, что ряд нестационарен и имеет один единичный корень (p= 1) (и при этом jui = 0), альтернативная — что ряд стационарен (p< 1):

HA : p< 1.

H0 : p= 1, ju = 0

Здесь i = 0, если оценивается (A2), i = 1, если оценивается (A3), и i = 2, если оценивается (A4).

Предполагается, что ошибки st некоррелированы. Это предположение очень важно, без него тест не будет работать!

Для получения статистики, с помощью которой можно было бы проверить нулевую гипотезу, Дики и Фуллер предложили оценить авторегрессию и взять из нее обычную t-статистику для гипотезы о том, что p = 1. При этом тест является односторонним, поскольку альтернатива p> 1, соответствующая "взрывному" процессу, не рассматривается.

Необычность DF заключается в том, что с помощью одной t-статистики проверяется гипотеза сразу о двух коэффициентах. Если мы в регрессии (A3) отвергли нулевую гипотезу, то принимаем альтернативную гипотезу, что процесс описывается уравнением (A3) с p< 1, то есть это стационарный вокруг линейного тренда процесс.

В противном случае имеем нестационарный процесс (p = 1), описываемый уравнением (A2), то есть случайное блуждание с дрейфом, но без временного тренда в уравнении авторегрессии.

Часто встречается несколько иная интерпретация этой особенности данного теста: проверяется гипотеза H0 : p= 1 против гипотезы HA : p< 1, и оцениваемая регрессия не совпадает с порождающим данные процессом, каким он предполагается согласно альтернативной гипотезе. Так, чтобы проверить нулевую гипотезу для ПДП типа (A2) нужно построить регрессию (A3) или (A4). Аналогично для тестирования ПДП типа (A3) нужно оценить регрессию (A4). Однако приведенная ранее интерпретация более точная.

Поскольку полученная статистика имеет нестандартное распределение, для ее использования требуются специальные таблицы. Эти таблицы были получены численно методом Монте-Карло. Все эти статистики получены на основе одного и того же ПДП (A1) с р = 1, но с асимптотической точки зрения годятся и для других ПДП, несмотря на наличие мешающих параметров, которые приходится оценивать.

Чтобы удобно было использовать стандартные регрессионные пакеты, уравнения регрессии преобразуются так, чтобы зависимой переменной была первая разность. В случае (A1) имеем уравнение (ф = р- 1): Ay = ф yt-1 + S.

Будем обозначать статистику, получаемую в результате оценивания регрессии (A1) Tnc, в результате оценивания регрессии (A2) — TC, в результате оценивания регрессии (A3) — Tct и в результате оценивания регрессии (A4) — Tctt. Это означает, соответственно, что в регрессии нет константы (nc), есть только константа (c) , есть константа и линейный временной тренд (ct), есть константа, линейный тренд и квадратичный тренд (ctt). (Дики и Фуллер использовали другие обозначения, здесь используются обозначения Мак- Киннона).

Следующая таблица показывает, какую статистику можно применять в какой ситуации.\r\n ПДП с р = 1, соответствующий нулевой гипотезе\r\nРегрессия A1 A2 A2\r\nA1 Tnc \r\nA2 Tc t t\r\nA3 Tct Tct t\r\nA4 Tctt Tctt Tctt\r\nВ таблице t обозначает обычную t-статистику.

Дело в том, что когда регрессия совпадает с ПДП и в регрессии есть детерминированные переменные (константа, тренд), то обычная t-статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение и поэтому для проверки гипотезы годятся обычные критические границы. Правда это свойство существенно асимпто-

тическое, и в малых выборках действительный уровень значимости, как показывают имитации Монте-Карло, может сильно отличаться от номинального. Поэтому предпочтительно добавить в регрессию дополнительную переменную и воспользоваться тестом Дики-Фуллера с нестандартными критическими границами, которые хотя и являются тоже асимптотическими, но связаны с меньшими искажениями размера теста.

Из этой таблицы видно, что если можно предположить, что рассматриваемая переменная нестационарна и имеет тренд, то начать тестирование следует с регрессии (A4) и соответствующего теста Tctt.

Поскольку неизвестно, присутствуют ли в ПДП константа и тренд, то полезно иметь тесты, которые бы позволили проверить соответствующие гипотезы. Такие тесты были предложены Дики и Фуллером. В случае всех этих тестов (в отличие от DF) действительно проверяемая гипотеза совпадает с номинально проверяемой гипотезой (или, согласно альтернативной интерпретации, оцениваемая регрессия совпадает с ПДП, каким он предполагается в соответствии с альтернативной гипотезой). По сути дела используются обычные F- и t-статистики для соответствующих гипотез, только критические границы берут другие. Опять же, при получении этих таблиц методом Мон-те-Карло используется исключительно ПДП (A1) с p = 1, поэтому тесты являются асимптотическими.

При оценивании регрессии вида (A2) получаем две статистики: t- статистику для гипотезы j = 0 и F-статистику для гипотезы j = 0 и p = 1. При оценивании регрессии вида (A3) получаем четыре статистики: t- статистику для гипотезы j = 0, t-статистику для гипотезы j = 0, F- статистику для гипотезы ju1 = 0 и p = 1 и F-статистику для гипотезы j = 0, j1 = 0 и p= 1.

Было бы естественно предположить, что только что описанные F- статистики было бы предпочтительнее использовать, чем ADF-тесты, поскольку действительная гипотеза для них совпадает с номинальной и является как раз той гипотезой, которая и проверяется в ADF-тестах.

Однако эти статистики являются двусторонними и, тем самым, не отбрасывают возможность "взрывного" процесса, что должно приводить к потере мощности теста.

Если гипотеза о наличии единичного корня не была отвергнута, то t- статистики для j = 0 и у= 0 могут быть полезны для определения точного вида нестационарного процесса — имеется ли в нем "дрейф" и тренд.

Предположение о том, что переменная следует авторегрессионному процессу первого порядка и ошибки некоррелированы, является, конечно, слишком ограничительным. Тест Дики-Фуллера был модифицирован для авторегрессионных процессов более высоких порядков и получил название дополненного теста Дики-Фуллера (augmented Dickie-Fuller test, ADF).

Базовые уравнения приобретают следующий вид:

L

Ayt = (р- 1) yt-1 + I Ay- + St. (B1)

l = 1

L

Ayt = !Mo + (р- 1) yt-1 +1 Ayt-i + St. (B2)

l = 1

L

Ayt = !o + !1 t + (р- 1) yt-1 + I Ay- + St. (B3)

l = 1

L

Ayt = !! + !1 t + ! t2 + (р- 1) yt-1 + I Ayt-i + St. (B4)

l = 1

Распределения этих тестов асимптотически совпадают с соответствующими обычными тестами Дики-Фуллера, и используют те же таблицы. Грубо говоря, роль дополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому, чтобы убрать автокорреляцию из остатков. Процедура тестирования не отличается от описанной выше.

Как показали эксперименты Монте-Карло, тест Дики-Фуллера чувствителен к наличию процесса типа скользящего среднего в ошибке. Эту проблему частично можно снять, добавляя в регрессию достаточно много лагов первой разности (Said and Dickey, 1984). Чтобы тест был состоятельным, требуется увеличивать L с ростом количества наблюдений по определенному закону.

На практике решающим при использовании ADF является вопрос о том, как выбирать L — порядок AR-процесса в оцениваемой регрессии. Можно предложить следующие подходы.

1) Поскольку важно, чтобы остатки были как можно более похожи на "белый шум", то следует выбирать такое число L, чтобы тест на автокорреляцию остатков показал отсутствие значимой автокорреляции.

Поскольку дополнительные лаги не меняют асимптотические результаты, то лучше взять больше лагов, чем меньше. Однако этот последний аргумент верен только с асимптотической точки зрения.

2) Другой подход состоит в том, чтобы выбирать L на основе обычных t- и F-статистик для соответствующих дополнительных регрессоров.

ADF может давать разные результаты в зависимости от того, каким выбрано количество лагов. Даже добавление лага, который "не нужен" согласно только что приведенным критериям, может резко изменить результат тестирования.

Особую проблему создает наличие сезонной компоненты в переменной. Если сезонность имеет детерминированный характер, то достаточно добавить в регрессию фиктивные сезонные переменные — это не изменяет асимптотического распределения ADF-статистики. Для случая стохастической сезонности также есть специальные модификации теста.

Пока мы рассмотрели тесты 1(1) против 1(0). Временной ряд может быть интегрированным и более высокого порядка. Как несложно понять, тесты 1(2) против 1(1) сводятся к рассмотренным, если взять не уровень тестируемого ряда, а первую разность. Аналогично для более высоких порядков интегрирования.

Имитации показали, что следует проверять гипотезы последовательно, начиная с наиболее высокого порядка интегрирования, который можно ожидать априорно. Т. е., сначала следует проверить гипотезу о том, что ряд является 1(2), и лишь после этого, если гипотеза была отвергнута, что он является 1(1). (См. Dickey and Pantula, 1987.)

<< | >>
Источник: М.П.Цыплаков. Некоторые эконометрические методы.Метод максимального правдоподобия. 1997

Еще по теме Тестирование стационарности:

- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -