Мощность критерия

В данном конкретном случае мы можем вычислить вероятность допущения ошибки II рода, т. е. принятия ложной гипотезы. Предположим, что мы приняли ложную гипотезу Я0: 3 = р0 и что на самом деле истинна альтернативная гипотеза Я,: 3 = 3,- Если вернуться к рис.

Если эту вероятность обозначить у, то мощность критерия, определенная как вероятность недопущения ошибки II рода, составляет (1 — 7). Очевидно, необходим компромисс между мощностью критерия и уровнем значимости. Чем выше уровень значимости, тем дальше вправо будет сдвинута точка В, тем больше будет 7 и тем меньше — мощность критерия.

Используя односторонний критерий вместо двустороннего, можно получить большую мощность при любом уровне значимости. Как мы уже видели, при переходе к одностороннему критерию с 5-процентным уровнем значимости точка В на рис. 3.8 сдвигается влево, и тем самым сокращается вероятность принятия ложной гипотезы Н0. Нужно, однако, помнить, что выигрыш в мощности будет получен только в условиях, когда использование одностороннего критерия оправдано.

Н0: Р — Р0, Н].\' Р gt; Р0

Мы рассмотрели случай, когда альтернативная гипотеза Я, включала конкретное гипотетическое значение 3, (при р, gt; ро). Вполне понятно, что логика, которая привела нас к использованию одностороннего критерия, применима и в более общем случае, когда гипотеза Я, выражается в виде р, gt; р0 без указания какого-либо конкретного значения.

Мы по-прежнему хотели бы исключить левый «хвост» распределения из критической области гипотезы, так как низкое значение для b более вероятно получить при гипотезе Я0: 3 = р0, чем при гипотезе Я,: р gt; 30, а следовательно, это будет говорить в пользу гипотезы Я0, а не против нее. Поэтому мы вновь предпочтем односторонний критерий проверки гипотезы двустороннему, рассматривая правый «хвост» распределения как область непринятия гипотезы. Отметим, что так как 3, не определено, у нас теперь нет возможности вычислить мощность такого критерия.

Н0’-Р~Роgt; Hj’.P^Pq

Аналогичным образом, если альтернативная гипотеза представлена в виде Я,: 3 lt; Р0, мы предпочтем проверку, основанную на одностороннем критерии, использующем левый «хвост» распределения в качестве области отклонения гипотезы.

Проверки с использованием одностороннего критерия очень важны на практике при решении экономических задач. Как мы уже видели, обычно для установления того, что независимая переменная действительно оказывает влияние на зависимую переменную, формулируется нулевая гипотеза Я0: 3 = 0. которую затем пытаются опровергнуть. Очень часто гипотеза оказывается достаточно обща, чтобы утверждать, что если х оказывает влияние на у, то это влияние имеет определенную направленность.

Если у нас есть достаточно веские причины считать, что это влияние, скажем, положительно, то можно использовать альтернативную гипотезу Я,: 3 gt; 0 вместо более общей гипотезы Я,: 3 ^ 0- Это является преимуществом, поскольку критическое значение t для отклонения гипотезы Я0 при проверке по одностороннему критерию будет меньшим, что облегчает отклонение нулевой гипотезы и установление наличия зависимости.

При оценивании регрессии расходов на продукты питания мы имели 23 степени свободы. При использовании однопроцентного уровня значимости и двустороннего критерия проверки гипотезы критическое значение t= 2,807. Целесообразно предположить, что размер дохода имеет положительное влияние на уровень расходов на питание.

В примере зависимости между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы, возможность использования для проверки одностороннего критерия имеет смысл. Нулевая гипотеза состояла в том, что инфляция, вызванная ростом заработной платы, полностью отражена в общей инфляции, и мы имеем Я0: Р= 1,0. Было бы целесообразно принять альтернативную гипотезу о том, что Р lt; 1 из-за повышения производительности труда, которое может привести к более низкому уровню общей инфляции по сравнению с инфляцией, вызванной ростом заработной платы, т. е. Я,: р lt; 1,0. В результате расчетов получим коэффициент регрессии, равный 0,82, и стандартную ошибку 0,10; тогда /-статистика для нулевой гипотезы составит —1,80. Это значение не столь велико, чтобы отвергнуть гипотезу Я0 при 5-процентном уровне значимости и использовании двустороннего критерия (критическое значение составляет 2,10). Однако если мы используем односторонний критерий проверки, то критическое значение уменьшится до 1,73, и теперь м ы можем отклонить нулевую гипотезу. Другими словами, можно сделать вывод о том, что общая инфляция будет значимо ниже инфляции, вызванной ростом заработной платы.

Упражнения

19. С помощью одностороннего критерия выполните проверку значимости коэффициента наклона модели регрессии между расходами на коммунальные услуги и располагаемым личным доходом, представленной в упражнении 3.12. Обоснуйте целесообразность использования одностороннего критерия.
20. Используя результаты упражнений 2.4 и 2.5, проверьте значимость коэффициентов регрессии. Примените односторонний /-критерий в тех случаях, когда это необходимо. Обоснуйте целесообразность использования одностороннего критерия.