Модель распределенного лага
Модель распределенного лага можно записать следующим образом:
= а+ ? pzX_+ є = af (L) X + є,
т=0
где q — величина наибольшего лага, f (z) = ? pz zT — многочлен.
Коэффициенты рт показывают структуру лага и называются весами. Оценивание этой модели может быть затруднено проблемой мультиколлинеарности. Такое случается, если величина Xt мало меняется со временем (если Xt — случайный процесс, то это означает автокорреляцию). При этом невозможно точно оценить структуру лага; хотя возможно точно оценить сумму весов Д-. Последнюю можно вычленить из модели следующим образом:= a+ PzX + ? p*(X_T- X)+ є, где Ps = ? Д.
т=1 т=0
Это пример преобразования формы регрессионной модели с временными рядами.
В случае мультиколлинеарности лаговых переменных обычно на лаго- вую структуру накладывают какое-нибудь ограничение, чтобы уменьшить
количество оцениваемых коэффициентов. Одна из возможных структур лага — это полиномиальный лаг, веса которого задаются полиномом от величины лага т:
2 Р
вт = Yo + Y1T+ Y2T +...+ YpT = t Ys TS, т= 0,..., q.
s=0
где p — степень многочлена. Простейший полиномиальный лаг — линейный . Для него рт= Y0 + Y1 т. Его структуру можно представить на следующей диаграмме (Рис. 5).
вг
г
1
q
Рис. 5
Полиномиальный лаг накладывают на модель q - p линейных ограничений. Понятно при этом, что если модель была линейной, то она и останется линейной. Рассмотрим, каким образом ее можно оценить. Подставим выражения для вт в исходную модель.
p q
-T — ^ /s ^s ¦
s=0
=0 s=0
i втХ-т = i (itYsTs) X-T = t Ys i TsX-T = t Ys Z
T=0
s=0 T=0
Получим новую модель
Y = a+ t Ys Zs + є
s=0
с преобразованными регрессорами Zs = i TsX-T. Оценив Ys надо подставить
т=0
их в формулу для весов вт.
При оценивании модели с ограничениями на структуру лага, нужно проверить, правильно ли наложены ограничения.
С помощью соответствующей F-статистики можно сравнить ее с исходной, неограниченной, моделью, поскольку она является ее частным случаем. Модельq
Y = ? ys Zs + є
s = 0
эквивалентна исходной модели с точностью до линейных преобразований, поэтому достаточно проверить гипотезу о том, что последние q - p коэффициентов в ней (Y+Ь •••, Yq) равны нулю.
Часто принимают, что веса на концах полиномиальной лаговой структуры равны нулю. Это требование накладывает на модель дополнительные ограничения.
Еще один популярный вид структуры лага — экспоненциальный (геометрический) лаг. Его веса задаются следующими соотношениями: Д= в 8т, т = 0,...,х, где 0 < 8< 1. Веса геометрического лага убывают экспоненциально с увеличением лага (Рис. 6).
Сумма весов в этой модели равна
XX в
Pz = ? вт = ? в0 ёт=ж
i-8 •
т=0 т=0
Рис. 6
К модели с геометрическим лагом можно применить преобразование Койка (Koyck transformation).
Проведем его с использованием лаговых операторов.X X І
Y = ? P0STLTX + є= P0?(8L)TX + є= P0 J8X +є.
т=0 т=0
Отсюда (l-8L)Y = PX + (l-8L^ или, по определению лагового оператора,
Y- 8 Y-i = PX + є- 8є-i .
30
Еще одна проблема, возникающая при оценивании модели распределенного лага, — найти величину наибольшего лага. Самый простой способ — взять неограниченную модель с достаточно большим лагом и проверять гипотезы по "отсечению хвоста" с помощью t и F-статистик.