Эффективность

Несмещенность — желательное свойство оценок, но это не единственное такое свойство. Еще одна важная их сторона — это надежность. Конечно, немаловажно, чтобы оценка была точной в среднем за длительный период, но, как однажды заметил Дж.

Предположим, что мы имеем две оценки теоретического среднего, рассчитанные на основе одной и той же информации, что обе они являются несме-

Функция плотности вероятности

щенными и что их функции плотности вероятности показаны на рис. 0.8. Поскольку функция плотности вероятности для оценки В более «сжата», чем для оценки А, с ее помощью мы скорее получим более точное значение. Формально говоря, эта оценка более эффективна.

Важно заметить, что мы использовали здесь слово «скорее». Даже хотя оценка В более эффективна, это не означает, что она всегда дает более точное значение. При определенном стечении обстоятельств значение оценки А может быть ближе к истине. Однако вероятность того, что оценкаокажется более точной, чем В, составляет менее 50%.

Это напоминает вопрос о том, пользоваться ли ремнями безопасности при управлении автомобилем. Множество обзоров в разных странах показало, что значительно менее вероятно погибнуть или получить увечья в дорожном происшествии, если воспользоваться ремнями безопасности. В то же время не раз отмечались странные случаи, когда не сделавший этого индивид чудесным образом уцелел, но погиб бы, будучи пристегнут ремнями.

Мы говорили о желании получить оценку как можно с меньшей дисперсией, и эффективная оценка — это та, у которой дисперсия минимальна. Сейчас мы рассмотрим дисперсию обобщенной оценки теоретического среднего и покажем, что она минимальна в том случае, когда оба наблюдения имеют равные веса.

Если наблюдениях, их2 независимы, теоретическая дисперсия обобщенной оценки равна:

pop.var(Z) = pop.var(AiXi + А2х2)= (М + А2)о2.              (0.29)

(Это можно показать, используя правила расчета дисперсии, рассматриваемые в главе 1.)

Мы уже выяснили, что для несмещенности оценки необходимо равенство единице суммы А, и А2. Следовательно, для несмещенных оценок А2 = (1 — А,) и

А] + А22 = А] + (1 - А, )2 = 2А2 - 2А; +1.              (0.30)

Поскольку мы хотим выбрать А, так, чтобы минимизировать дисперсию, нам нужно минимизировать при этом (2А,2 — 2А, + 1). Эту задачу можно решить графически или с помощью дифференциального исчисления. В любом случае минимум достигается при А, = 0,5. Следовательно, А2 также равно 0,5.

Итак, мы показали, что выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию среди оценок рассматриваемого типа. Это означает, что оно имеет наиболее «сжатое» вероятностное распределение вокруг истинного среднего и, следовательно (в вероятностном смысле), наиболее точно. Строго говоря, выборочное среднее — это наиболее эффективная оценка среди всех несмещенных оценок. Конечно, мы показали это только для случая с двумя наблюдениями, но сделанные выводы верны для выборок любого размера, если наблюдения не зависят друг от друга.

Два заключительных замечания: во-первых, эффективность оценок можно сравнивать лишь тогда, когда они используют одну и ту же информацию, например один и тот же набор наблюдений нескольких случайных переменных.

Упражнения

0.8. Рассчитайте дисперсию обобщенной оценки теоретического среднего для частного случая lt;т2 = 1 и выборки из двух наблюдений, воспользовавшись уравнением (0.30) с величинами А., от 0 до 1 при шаге 0,1. Нанесите полученные точки на график. Важно ли то, чтобы весовые коэффициенты А, и Х2 в точности равнялись друг другу?

О.9. Покажите, что при наличии и наблюдений условием того, чтобы обобщенная формула (А,х, + ... + A„x„) давала несмещенную оценку р, является At + ... + Ая = 1.

0. 10. Вообще говоря, при увеличении размера выборки дисперсия распределения оценки убывает. Правильно ли утверждать при этом, что оценка становится более эффективной?