ДМНК в случае однозначной идентифицируемости
Как мы убедились, ДМНК может рассматриваться как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных в случае, когда в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые могут использоваться как инструментальные.
Поэтому совсем неудивительно будет обнаружить, что если такого избытка нет, то применение ДМНК не даст никаких преимуществ и приведет к точно таким же результатам, что и КМНК и метод ИП.Покажем это на примере модели формирования дохода из раздела 11.1. Используя ДМНК для оценки уравнения функции потребления, рассчитаем рег
рессию приведенной формлы уравнения для Y и получим Y. Следуя первой версии ДМНК и используя Y как инструмент для Y, вычислим далее:
Cov(f,C)
*™HK = Cov(f,)\') ¦ lt;М-45gt;
Если приведенную форму уравнения регрессии для Y записать как
Cov(g,I,C) Cov (/, С)
Д*11* Cov(#, /, Y) Cov(/, У) ип (11.47)
[см. уравнение (11.19)], что также идентично [см. уравнение (11.20)].
Это приводит к общему выводу о том, что в случае однозначной определенности уравнения все три метода являются эквивалентными. Заметим, в частности, что в случае однозначной определенности модели нет разницы между методом ИП и ДМНК. Предположим, что в данном уравнении три объясняющие переменные (х,, х2 и х3) являются эндогенными и три экзогенные переменные (?,, z2 и ?3) могут выступать как инструментальные. Если используется метод ИП, то невозможно распределить роли инструментов между данными экзогенными переменными. Эти три инструментальные переменные используются совместно для трех эндогенных переменных, и оцененные регрессии окажутся теми же самыми, что и при применении ДМНК.
Упражнения
- Как можно оценить параметры модели, описанной в упражнении 11.2? Как оценить ее параметры в расширенном виде, в каком она описана в упражнении 11.3?
- Исследователь сформировал следующую простую макроэкономическую модель закрытой экономики:
С, = а + рУ, + и,;
У, = С, + /, + с„
где С — совокупное потребление; / — инвестиции; G — текущие расходы государственного сектора; У — совокупный доход; и — случайный член. Переменные / и G могут рассматриваться как экзогенные.
Исследователь располагает временными рядами годичных данных о значениях переменных за 25 лет. За время наблюдения значение С в среднем составляло примерно 70% от Y, I — примерно 20%, и G — примерно 10%. За время наблюдения дисперсия переменной / существенно превышала дисперсию С.- Объясните, почему применение МНК для оценки уравнения функции потребления дает несостоятельные оценки. В каком направлении, по-вашему, окажутся смещенными оценки а и (3?
- Исследователь оценивает уравнение функции потребления: (А) используя / как инструментальную переменную для У; (Б) используя G как инструментальную переменную; (В) с помощью ДМНК. Соответствующие уравнения регрессии получились следующими (в скобках приведены стандартные ошибки):
(А) ?,= 1,7 + 0,69 У,; ?2 = 0,92;
- (0,13)
(Б) ?, = -25,3 + 0,87 У,; ?2 = 0,85;
- (0,17)
(В) С, = -4,0 + 0,72 Yt; R2 = 0,94. (13,1) (0,09)
В каждом из случаев автокорреляция не наблюдалась. Проанализируйте теоретические свойства каждого уравнения регрессии и установите, подтверждаются ли они полученными результатами.
- Как бы вы предложили оценить в предыдущем упражнении приведенную форму уравнения для К,?[XXII]
- В данном разделе были предложены две версии использования ДМНК для оценки уравнения предложения: 1) когда этот метод является частным случаем метода ИП, оценка равна Cov (у, p)/Cov (р, р) и 2) когда метод используется как версия МНК для «очищения» переменных, оценка равна Cov (y,p)Var (р). Докажите, что значение Cov (р, р) равно значению Var (р) и, следовательно, эти две версии эквивалентны.