3.3. Дюрация как метод управления процентным риском

147

затели дюрации, измеряемые в единицах времени, трудно сопоставимы с показателями риска. Сделаем попытку объяснить дюрацию и доказать полезность ее использования в качестве инструмента управления процентным риском.

Под дюрацией понимают взвешенную среднюю современную стоимость денежных потоков, которая дает представление о ценовом риске и выражается в единицах времени. Можно также определить дюрацию как средневзвешенное время до погашения актива или обязательства.

Дюрация была исследована известным американским экономистом Маккаупи (McCaulay), который изучил чувствительность ценных бумаг к изменению процентных ставок на рынке. Формула ценообразования по облигациям имеет следующий вид:

CF CF CF CF F

(1+ІУ (1+ijp (1+if "\' (Up (1+if

или, используя более краткое определение,

V CF F

Р= 2 + .

(Й) м (top

где Р— справедливая цена облигации;

F— номинальная стоимость облигации;

і — доходность при погашении за период;

С — ставка купона за период;

л — количество купонных периодов.

Рассмотрим несколько примеров ценообразования облигаций. Основными характеристиками, учиты-ваемыми при оценке облигаций, являются: номинальная (лицевая) стоимость, купонный доход и доходность к погашению.

Пример 1

Четырехлетняя облигация с годовым купоном 10%. Доходность при погашении — 10%. Номинал —100.

Тогда справедливая цена облигации.

10 10 10 10 100 " (1,10)1+ (1,Ю)г + (1,10)3+ (1,10Г+ (1,10)4 ~

= 9,0909+ 8,2645 + 7,5131+6,8301 +68,3013= 100,000.

Доходность при погашении — это процентная ставка, используемая для дисконтирования денежных потоков от облигации.

Четырехлетняя облигация с годовым купоном 10%. Доходность при погашении —15%. Номинал —100.

Рассчитаем ее справедливую современную стоимость:

р- 10 + 10 + 10 + 10 + 100 _

~ (1.15)1 +(1,15)2+(1,15)э+ (1,15)4+ (1,10)* " = 9,6957+7,5614+6,5752+5,7175+57,1753=85,7251.

Пример 3

Четырехлетняя облигация с годовым кулоном 10%. Доходность при погашении — 5%. Номинал —100. Произведем расчет:

10 10 10 10 100

Р= -+ + + + =

(1.05)1 (1.05)2 (1,05)3 (1,05)4 (1,05)4

= 9,5238+9,0703+8,6384+8,2270+82,2702 = 117,7298.

Итак, четырехлетняя облигация с годовым купоном 10% и доходностью при погашении 5% обращается по цене 117,7298 (пример 3). Рассмотрим раз-личные варианты стратегии инвестирования облигации.

Стратегия А

Если инвестировать 117,7298 на четыре года под 5% годовых, при начислении сложных процентов получится доход 143,1013.

Стратегия Б

Если инвестировать 117,7298 в четырехлетнюю облигацию с годовым купоном 10% и инвестировать поступления по купону под 5%, то

за первый год купон 10%, вложенный на три года под 5%, приносит 11,5763;

за второй год купон 10%, вложенный на два года под 5%, приносит 11,0250;

за третий год купон 10%, вложенный на один год под 5%, приносит 10,5000;

за четвертый год купон 10%, вложенный на 0 лет под 5%, приносит 10,0000;

цена погашения 100%, вложенная на Ллет под 5%, приносит 100,0000 143,1013.

Примеры показывают, что цена облигации меняется обратно пропорционально от доходности. Чем выше цена, тем ниже доходность, и наоборот. Это позволяет сделать вывод о том, что дюрация зависит

от:

времени, оставшегося до погашения;

ставки купона;

доходности облигации.

На практике дюрация может использоваться для измерения чувствительности отдельных ценных бумаг или целых портфелей.

Рассмотрим этапы расчета дюрации и подтвердим расчет на условном примере.

Берется время до погашения каждого денежного потока, умножается на коэффициент веса.

Рассчитаем дюрацию применительно к балансовому отчету банка (табл. 28). Очевидно, что любой актив баланса банка может быть представлен в виде облигации с купонным доходом. Предположим, банк предоставил заемщику кредит на три года в сумме 1000 руб. под 7% годовых с полугодовыми выплатами процента. Процентные платежи по кредиту есть не что иное, как купонные платежи. Распишем потоки денежных средств, генерируемые этим займом, и одновременно продемонстрируем технологию расчета дюрации. Ставкой дисконтирования в данном случае избрана рыночная процентная ставка по кредитам с таким же сроком и адекватным уровнем риска. Предположим, что процентная ставка по аналогичным ссудам на рынке составила 10%.

Расчет дюрации кредита\r\nПериод год Поток налич-ное™ (CF), тыс. руб. Текущая стоимость потоков наличности (PV), тыс. руб. Взвешенная стоимость потоков наличности Дюрация, гоп\r\n0,5 35 33,3333 0,0358 0,0358x0,5=0,0179\r\n1 35 31,8182 0,0342 0,0342\r\n1,5 35 30,4348 0,0327 0,0491\r\n2,0 35 28,9256 0,0311 0,0622\r\n2,5 35 27,5591 0,0296 0,0740\r\n3,0 1035 778,1955 0,8365 2,5095\r\n PV=930,2665 D = 2,7269\r\n

По результатам проведенных расчетов мы получили дюрацию — 2,7 года. Это период времени, через который произойдет возврат ссуженных средств, и одновременно степень ценового риска. Наглядно можно проиллюстрировать дюрацию следующим образом (рис. 15).

4 р.

ДЮРАЦИЯ

Рисунок 15. Иллюстрация точки равновесия денежных потоков

Представим себе качели, на которых стоит несколько стаканов, в каждый из них налито определенное количество жидкости.

Математическая формула дюрации (D) имеет сле-дующий вид:

1 X pvcf. + 2 X pvcf,- + ... + п x pvcf

D =

к у. pvtcf

где к — общее число купонных периодов;

л — число купонных периодов до погашения; PVCFK— современная стоимость денежных потоков за период f, дисконтированная на доходность к погашению;

d =

V CFt (?\')х

n CFt

Рассмотрим пример балансового отчета банка и определим дюрацию активов и пассивов баланса банка (табл. 29).

PVTCF— сумма современных стоимостей денежных потоков облигаций.

балансовый отчет гипотетического банка\r\nАктивы Учетная Процент D Пассивы и Учетная Процент О\r\n СТОИМОСТЬ. ная ставка капитал стоимость. ная ставка \r\n тыс. руб. тыс. руб. \r\nКасса 100 Срочный \r\n депозит 840 7 1\r\nКоммер Депозит \r\nческая ный серти \r\nссуда 1000 15 2,63 фикат 440 9 3,53\r\nКазначей Обязатель \r\nская об ства 1280 \r\nлигация 300 10 5,86 \r\nИтого 1400 Капитал 120 \r\n Итого \r\n обязатель- \r\n тельства и \r\n капитал 1400 \r\n

Балансовый отчет гипотетического банка состоит из трех статей по активу и пассиву баланса. В активе банк владеет коммерческим кредитом, который он предоставил на срок три года под 15% годовых, и восьмилетней казначейской облигацией, приносящей 10%. В пассиве баланса банка имеются срочный депозит, который привлечен на 1 год под 7% годовых, и четырехлетний депозитный сертификат, по которому банк выплачивает 9% годовых. Капитал банка —120 единиц, чі$ составляет 10,4% к активам, взвешенным по степени риска.

150 х 1 150x2 1150 х 3

+ +

Коммер- (1,16)\' (1,15)г (1,15)\' 130,43 + 227,27 + 2289,74

ческая * а 2,63 гада.

ссуда 1000 1000

ЗО 30x2 30x3 30x4 30x5 30x6 30x7 330x8

Казна- (I.PMW* (111)* (UP *(W + 0.D* d,1)T* (1.D\'

чеиская = =

облигация 300

21,27+49.59+67,67+82,1&+S3,17+101,69+109,38+1233.64 - __ _ = 5,86 гада.

300

898,8

(1,07) 840

Срочный депозит = = = 1 год.

840 840

39,6 х 1 + 39,6 х 2 4 39,6 х 3 + 479,6 х 4

Депозитный (1.09V (1.09)\' 0W .

сертификат ~ 440

36,33 + 66,55 + 91,38 + 1360,57

= 3,53 года.

440

Рассчитаем теперь дюрацию актива баланса банка и обязательств. Следует подчеркнуть, что дюрация актива баланса банка устанавливается с учетом весовых коэффициентов каждой статьи актива в валюте баланса. Аналогичным образом определяется дюрация обязательств банка. Проведем расчеты для гипотетического банка.

1000 300

Дюрация = х 2,63 + х 5,86 = 3,14 года,

обязательств 1400 1400

Рассчитаем дюрацию обязательств банка.

840 440

D = х 1 + х 3,53 = 1,87 года,

1280 1280

где о, — дюрация актива.

Следующим шагом является расчет GAP-дюра- ции. Формула GAP-дюрации имеет следующий вид: GAPD= DA — uDL,

где DA — совокупная длительность активов, измеряемая суммой произведений длительности каждого актива и пропорциональной доли рыночной стоимости суммарных активов; DL — совокупная длительность пассивов, изме-ряемая суммой произведений длительности каждого пассива и пропорциональной доли рыночной стоимости суммарных пассивов; и — отношение суммарных обязательств к суммарным активам.

GAPD = 3,64 - 1280/1400 х 1,87=1,93 года.

Разрыв между сроками возврата платежей по активу и пассиву баланса банка составил 1,93 года. Это позволяет сделать два вывода. Первый состоит в том, что ресурсы банка являются более краткосрочными, чем активы, и разрыв составляет 1,93 года.

Очень важно правильно оценить влияние GAPD на капитал банка. Если GAPD — положительная величина, то рыночная стоимость капитала банка снижается с повышением процентной ставки на рынке и возрастает с понижением ставки. В том случае, если GAPD — отрицательная величина, рыночная стоимость капитала возрастает с повышением процентных ставок на рынке и уменьшается при их снижении. Совершенно очевидно, что чем больше разрыв, тем выше процентный риск.

Предположим, что все процентные ставки возросли на 100 базисных пунктов, или 1%, сразу после формирования активов и пассивов. Рассмотрим, как изменились стоимость актива и пассива баланса банка и дюрация (табл. 30).

Таблица 30\r\nАктивы Рыночная Процент 0 Пассивы и Рыночная Процент D\r\n стоимость, ная ставка капитал стоимость; ная ставка \r\n тыс. руб. тыс. руб. \r\nКасса 100 Срочный депозит 832 8 1\r\nКоммер Депозит \r\nческая ный серти - \r\nссуда 977 16 2,6 фи кат 425 10 3,5\r\nКяэнячвй* Обязатель \r\nекая об ства 1257 1,78\r\nлигация 284 11 6,09 \r\nИтого 1361 2,37 Капитал Итого 104 \r\n обяэатепь- \r\n тельстваи \r\n капитал 1361 \r\n

Балансовый отчет гипотетического банка после повышения процентных ставок на 1%

Данные таблицы свидетельствуют о том, что рыночная стоимость активов и обязательств банка изменилась. Актив баланса банка снизился на 39 единиц, в том числе ссудная задолженность — на 23 единицы, рыночная стоимость облигации — до 284, или на 16 единиц. Произошло уменьшение стоимости обязательств банка и капитала. Обязательства банка потеряли от своей первоначальной стоимости 23 единицы, а капитал —16 единиц.

GAPD составил 0,73 года, что на 1,2 года меньше по сравнению с датой формирования активов и обязательств банка. Риск снизился, но и утрачен капи-тал банка на 13,3%, или 16 на единиц.

157

На основе дюрации можно создать защищенный капитал кредитной организации. Для этого необходимо реструктурировать обязательства таким образом, чтобы GAP дюрации был равен нулю. Применительно к нашему примеру разобьем сумму годового депозита на две части: однолетний — 240 единиц и пятилетний с нулевым купоном — 600 единиц (табл. 31).

Таблица 31 Балансовый отчет гипотетического банка\r\nАктивы Учетная

СТОИМОСТЬ.

тыс. руб. Процентная ставка D Пассивы и капитал Учетная стоимость, тыс. руб. Процентная ставка О\r\nКасса 100 Срочный \r\n депозит 200 7 1\r\nКоммер Депозит \r\nческая ный серти \r\nссуда 1000 15 2,63 фикат 440 9 3,53\r\n 4-летниЙ \r\n депозит 640 10 t\r\nКазначей Обязатель 1280 3,43\r\nская об ства \r\nлигация 300 10 5,86 \r\nИтого 1400 3,14 Капитал 120 \r\n Итого \r\n обязатель- \r\n тельства и \r\n капитал 1400 \r\n

В результате реструктуризации обязательств GAPD будет равна нулю: *

GAPD= Da (3,14)— D, (0,91 х 3,43) = 0.

При такой срочности и структуре привлеченных средств любое изменение процентной ставки никак не затронет стоимости капитала. При росте процентных ставок на 100 базисных пунктов изменится рыночная стоимость активов и обязательств банка, однако рыночная стоимость капитала не будет затронута.

Проверим каше утверждение (табл. 32). Предположим, что процентные ставки на рынке возросли на 100 базисных пунктов.

Таблица 32\r\nАктивы Рыночная стоимость, тыс. руб. Процентная ставка О Пассивы и капитал Рыночная стоимость, тыс. руб. Процентная спака О\r\nКасса 100 Срочный \r\n депозит 198 8 1\r\nКоммер Депозит \r\nческая ный серти \r\nссуда 977 16 2,6 фикат 426 10 3,5\r\n 4-летний \r\n депозит 617 11 4\r\nIfuuaiiejL

|\\ОЛ NJ ICVT Обязатель \r\nекая об ства 1241 3,33\r\nлигация 284 11 6,09 \r\nИтого 1361 2,37 Капитал 120 \r\n Итого \r\n обяааталь- \r\n тельства и \r\n капитал 1361 \r\n

Балансовый отчет гипотетического банка после повышения процентных ставок на 1%

Данные таблицы показывают, что при росте процентных ставок на заданную величину рыночная стоимость активов и обязательств снизилась, капитал банка не изменился. Условие хеджирования рыночной стоимости капитала можно выразить в следующей формуле:

d,* mv,,

где Dt — дюрация активов;

— рыночная стоимость активов; D, — дюрация обязательств; uvt—рыночная стоимость обязательств.

В том случае, если банк выбирает стратегию, ориентированную на хеджирование чистого процентного дохода, формула будет иметь следующий вид:

mvt¦ (т — dt) = mvt • (t-d,),

где MVT — рыночная стоимость активов; т— срок погашения; Dш — дюрация активов; щ— рыночная стоимость обязательств; D: — дюрация обязательств.

На основе лреобраізования последнего уравнения можно найти срок погашения (в нашем случае) депозита, который позволит защитить чистый процентный доход от колебаний процентных ставок на рынке. Формула примет следующий вид: D _т_ MV-\'

mv,

Использование дюрации при управлении портфелем активов и обязательств банка может позволить банку оценить величину риска и потери капи-тала. Измерить риск и потери капитала становится возможным при использовании модифицированной дюрации. Модифицированная дюрация iMD) выводится из формулы дюрации. Ее иногда называют эластичностью процентной ставки и обозначают IRE. Модифицированная дюрация позволяет оценить процентное изменение рыночной стоимости актива или обязательства при повышении процентной ставки на 100 базисных пунктов, или на 1%. Математическая формула модифицированной дюрации имеет следующий вид:

-D

MD =

(1+r)

где г — доходность к погашению.

Рассмотрим пример расчета модифицированной дюрации и прокомментируем ее экономическое со-держание (табл. 33).

Предположим, что банк располагает купонной облигацией: номинал — 1000; купон — 80, или 8%; срок погашения — 3 года.

Таблица 33

(тыс. руб.)\r\nгод Ставка доход Денежный Текущая Взвешенная\r\n ности, % поток стоимость по сроку стоимость\r\n

9

8,78

80 80 1080

74,77 68,59 833,96 977,31

74,77 137,17 2501,87 2713,82

Расчет дюрации облигации

Дюрация облигации составила 2,78 года (2713,82/ 977,31). Доходность к погашению облигации, по нашим расчетам, — 8,78%. Подставляя данные в уравнение модифицированной дюрации, получим:

MD= =-2,56.

(1,0878)

Значение модифицированной дюрации (-2,56%) показывает процентное изменение в цене облигации при изменении процентной ставки на 100 базисных пунктов (1%). Просчитаем изменение рыночной стоимости облигации при изменении кривой доходности на 1% (табл. 34).

Рыночная стоимость трехлетней облигации с ежегодными купонными выплатами (результат изменения ставки на 1%)

(тыс. руб.)\r\nГод Первоначаганые условия Повышение ставки на 1% Понижение ставки на 14\r\n денежный поток ставка лохова текущая стммосп ставка похода текущая стоимость ставка похода текущая стоимость\r\n1 80 74 74,8 8% 74,1 6% 75,5\r\n2 80 8% 68,6 9% 67,3 7% 69,9\r\n3 1080 9% 834,0 10% 811,4 8% 857,3\r\n 8,89% 977,3 9,89% 952,8 7,9% 1002,7\r\n

В соответствии с нашими предположениями изменение в рыночной стоимости облигации относительно первоначального условия (текущая стоимость облигации составила 977,3) при повышении процентной ставки на 1% составит -24,5, а при понижении ставки на 1% — +25,4%; процентное из-менение стоимости соответственно —2,51% и +2,60%. Этим мы подтвердили правильность значения IRE. Однако если быть точными, то н^кно подчеркнуть, что есть некоторое расхождение между IRE и нашими расчетами. Это объясняется тем, что рыночная стоимость облигации с фиксированной процентной ставкой представляет собой нелиней-ную функцию изменения кривой доходности, т.е. изогнутую функцию.

Рисунок 16. Графическая иллюстрация изменения рыночной стоимости

доходность

Искривление в поведении цены связано с явлением, называемым «выпуклостью». IRE имеет уклон, в котором она недооценивает изменение цен для облигаций, когда процентная ставка снижается, и переоценивает, когда процентные ставки повышаются. Погрешность очень мала и относительно нечувствительна к росту или падению процентной ставки.

Подводя некоторый итог, заметим, что модифицированная дюрация измеряет изменение цены об-лигации в зависимости от кривой доходности при по-гашении, или, другими словами, модифицированная дюрация измеряет изгиб кривой отношения цены к до-ходности. Пример.

30-летняя облигация с 8%-ным полугодовым

купоном и текущей доходностью 7,75% стоит

102,8962.

D = 11,9762 года.

MD= 11,5295 года.

Ожидаемое процентное изменение цены при изменении доходности на 1/32 составляет: 11,5295 х х 0,03125 = 0,3603%.

Фактическая цена при повышении доходности на

1/32 составляет 102,5266 единицы. ?

Фактическая цена при снижении доходности нй

1/32 равняется 103,2681.

Процент изменения цены (фактически) составит 103.2681-102,5266 2

х 100 = 0,3603%,

102,8962

что соответствует модифицированной дюрации.

Рассмотрим пример оценки потерь капитала банка при изменении процентных ставок на рынке с помощью модифицированной дюрации. Для проведения расчетов составляется балансовый отчет дюрации (табл. 35).

Для того чтобы рассчитать потери капитала банка в случае изменения процентных ставок на рынке на 100 базисных пункта, или 1%, взвешиваются балансовые остатки по активу и пассиву баланса на модифицированную дюрацию актива и пассива баланса банка. Отсутствие равенства между активом и пассивом баланса банка объясняется тем, что в активе не были приняты в расчет такие статьи, как касса, счет в центральном банке, материальные активы. В пассиве баланса не принят в расчет первый уровень капитала банка, дополнительный элемент в виде субординированного долга включен в структуру пассива баланса. Рассчитаем величину капитала.

Стоимость актива баланса банка — 39337,5 х х 2,3031= 90598,2 долл.

Стоимость обязательства банка — 39431,7 х х 0,8259 = -32566,64 долл. Стоимость капитала — 58031,56 долп. Если произойдет изменение процентных ставок на рынке в сторону повышения на 1 %, то доход банка снизится на 580,3, что составит 66,63% к капиталу

Дюрация гипотетического балансового отчета\r\nАктив Сумма, долл. Средний доход, % Модифици-рованная дюрация Пассив Сумма, долл. Средний доход, % Модифици-рованная дюрация\r\nКазначейские Текущие счета 8960,8 0,5369 3,0000\r\nвекселя 2172,7 8,1211 0,1397 \r\nН ОСТРО 0,0 Депозиты до \r\n востребования 5720,2 6,0473 0,0786\r\nМБК 1200,0 8,6925 0,1534 Срочные депозиты 4780,7 7,3653 0,2716\r\nДепозитные МБК 19120,1 8,3600 0,0769\r\nсертификаты 0,0 \r\nКоммерческие Депозитные \r\nценные бумаги 0,0 сертификаты 500,0 8,8200 0,0766\r\nГосударствен ные 8,6974 3,8566 Бессрочные ценные \r\nоблигации 22267,0 бумаги 0,0 \r\nКоммерческие Заемный капитал 350,0 9,4286 6,9392\r\nкредиты 4185,7 9,8807 0,4394 \r\nСельскохозяйст \r\nвенные кредиты 880,9 10,3947 0,4319 \r\nКредиты в сферу 10,1561 \r\nуслуг 4402,9 0,3028 \r\nКредиты физи 4>228,3 10,8082 0,1619 \r\nческим лицам \r\nСиндицированные 0,0 \r\nкредиты \r\nитого 39337,5 9,2195 2,3031 итого 39431,7 6,1414 0,8259\r\n

банка. Это означает, что капитал банка снизится бо-лее чем на две трети.

Подведем некоторые итоги вышеизложенного.

Дюрация—средневзвешенное время до погаше- < НИЯ денежных ПОТОКОВ. I :

Дюрация повышается при увеличении срока по-гашения.

Дюрация снижается при повышении ставок купона или потоков денежных средств.

Дюрация снижается при повышении доходности на рынке.

При всех достоинствах дюрации она не лишена ряда недостатков, особенно при анализе процентного риска банка. В частности, дюрация может быть свободно использована для измерения потерь капитала банка при небольших изменениях в доходности инструментов, если не возникает каких-либо существен-ных погрешностей при параллельном сдвиге кривой доходности.

При существенных колебаниях в доходности дюрацию следует использовать очень осторожно. Здесь необходимо проводить корректировку на «выпуклость» актива или обязательства.

Измерение чувствительности цен с использованием дюрации и выпуклости:

Выпуклость

+ 200

Изменение Д0Х0ДОСТИ (віроцвнтах) +

х

(Изменение X доходности)2

Пример.

30-петняя облигация с 8%-ным полугодовым купоном и текущей доходностью 7,75% стоит 102,8962.

Модифицированная дюрация = 11,5295 года. Выпуклость - 220,8104 года. При увеличении доходности на 1%: ожидаемое процентное изменение цены —11,53% (используя только дюрацию) или 10,43% (используя дюрацию и выпуклость);

фактический процент изменения цены —10,51%.

Наряду с очевидными преимуществами дюрации по сравнению с методом, основанным на разрывах между активами и пассивами, чувствительными к изменению процентных ставок на рынке, она не лишена также существенных недостатков. В частности, дюрация может быть использована для из-мерения потерь капитала при небольших колебаниях в доходности инструментов. При разнонаправленном изменении процентных ставок требуется вносить коррективы в полученный результат, поскольку количественная оценка будет неверной. Отклонение потоков денежных средств от первоначальных условий договоров также потребует внесения изменений в расчеты. Предпочтительнее использовать дюрацию для определения текущего уровня риска. Другими словами, дюрация является очень тонким и чувствительным методом оценки и управления процентным риском, и ее внедрение в практику российских банков проблематично из-за нестабильности на финансовых рынках. Из этого, по нашему мнению, следует, что менеджмент банка должен стремиться к совершенствованию методов управления процентным риском, но с учетом особенностей развития российской экономики в переходный период.