8. ИГРЫ С ПЕРЕМЕННЫМ СОСТАВОМ И УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ ПРОЕКТАМИ

Задачи формирования состава исполнителей, выбора команды проекта и т.д. близки к задачам оптимизации состава АС, решаемые в таких разделах теории управления социально-экономическими системами как: теория активных систем, теория контрактов, экономика труда, экономика организаций и др. Поэтому, прежде чем переходить к исследованию игр с переменным составом, проведем краткий обзор результатов решения задач оптимизации состава ОС.

В большинстве работ по теории управления социально- экономическими системами (активными системами - АС) рассматриваются задачи управления (планирования, стимулирования и др. [33, 48, 86]) в предположении, что состав участников системы (далее для краткости - состав), то есть набор управляющих органов - центров - и управляемых субъектов - агентов, фиксирован. Коль скоро известно решение задачи управления для фиксированного состава АС, появляется возможность рассмотрения задачи управ-ления составом активной системы, то есть задачи определения оптимального (в оговариваемом ниже смысле) набора агентов, которых следует включить в систему, и тех их действий, выбор которых наиболее выгоден для центра (или центров, если последних несколько). Если имеется решение задачи управления составом, то следующим шагом может быть решение задачи синтеза оптимальной структуры АС - определения числа уровней иерар-

хии, распределения участников АС по уровням, определения связей между ними и т.д.

В теории контрактов [20, 21, 83, 125, 126, 131] исследовались модели определения оптимального числа работников (в основном, однородных) при ограничениях согласованности стимулирования и резервной заработной платы [126, 131]. Обычно в работах зарубежных авторов по теории контрактов считается, что на момент заклю-чения контракта будущее значение состояния природы (внешнего неопределенного фактора, определяющего условия функционирования АС) неизвестно ни центру, ни потенциальным работникам, но они имеют о нем информацию в виде вероятностного распределения. Задача центра заключается в определении зависимости вознаграждения работников от результатов их деятельности или действий и числа работников, нанимаемых в зависимости от со-стояния природы, которые максимизировали бы математическое ожидание целевой функции центра при условии, что всем принятым на работу гарантируется уровень полезности не меньший резервной заработной платы (при этом может добавляться условие обеспечения центром определенных гарантий для безработных). Отметим, что сформулированная задача существенно проще (так как не учитывается активность работников), чем базовая модель теории контрактов [123], в которой фигурирует дополнительное условие выбора агентом действия, максимизирующего его ожидаемую полезность при заданной системе стимулирования. Подробное описание соответствующих результатов приведено в обзоре [20]. В настоящей работе нас будут интересовать постановки теоретико- игровых задач, учитывающие потенциальную активность всех участников ОС.

В рамках экономики труда [112, 115, 122, 134] основной результат, определяющий оптимальное количество работников, отражает равенство производимого ими предельного продукта (предельной производительности) и предельных затрат на их привлечение и удержание (см. обсуждение взаимосвязи между экономикой труда и задачами управления организационными системами в [13, 65]). Количество дополнительной продукции (дохода), которое получает фирма, нанимая одного дополнительного (сверх уже работающих) работника (единицу труда), называется предельным продуктом труда.

центра на стимулирование при приеме на работу дополнительного работника. Условие максимизации прибыли (разности между доходом центра и его затратами на стимулирование) требует, чтобы прибыль была максимальна. Для этого следует изменять число занятых (увеличивать, если предельный доход превышает предельные издержки, и уменьшать в противном случае) до тех пор, пока предельный доход не будет равен предельным издержкам.

В экономике организаций принят следующий общий подход к определению оптимального размера организации (см. подробное обсуждение и ссылки в [73]). С одной стороны, существует рынок - как система обмена прав собственности. С другой стороны, экономические агенты объединяются в организации, взаимодействующие на рынке. Объяснением существования экономических организа-ций служит необходимость компромисса между трансзакционными издержками и организационными издержками, которые определяются "затратами на координацию" внутри организации, которые растут с увеличением ее размеров.

Транзакционные издержки препятствуют рынку заместить собой организацию, а организационные издержки препятствуют организации заместить собой рынок. Основная идея (качественная), используемая в экономике организаций при обсуждении задач формирования состава заключается в том, что, так как и первые, и последние издержки зависят от размера организации и ее структуры, то, теоретически, должны существовать оптимальные параметры организации, при которых достигается уравновешивание упомянутых тенденций замещения.

Обсудим теперь кратко результаты, полученные в рамках теории активных систем. Впервые в теории активных систем задачи формирования состава АС рассматривались в работах [32, 66] для случая назначения проектов. Вообще, задача о назначении с неизвестными центру и сообщаемыми ему агентами параметрами эффективности их деятельности на различных должностях неоднократно привлекала внимание исследователей, особенно в области управления проектами [32].

В работе [35] рассмотрена модель динамики трудовых ресурсов между несколькими предприятиями в зависимости от условий оплаты труда и неденежных факторов вознаграждения работников.

зрения информационной нагрузки на центр число агентов, которых следует включать в АС, рассматривались в работе [82] при изучении факторов, определяющих эффективность управления многоуровневыми организационными системами. Широкое распространение в задачах управления АС нашли методы теории графов [23]. Задачи определения оптимальной последовательности выполнения операций (сокращение производственного цикла, коммерческого цикла, задачи снабжения и др. [3, 7, 10, 11, 12, 23, 26, 32]) условно могут рассматриваться как задачи формирования состава.

Наиболее представительным классом механизмов управления АС, которые могут рассматриваться как задачи формирования состава, являются конкурсные и аукционные механизмы, в которых ресурс или работы распределяются между претендентами на основании упорядочения эффективностей их деятельности. Примерами являются прямые, простые и двухэтапные конкурсы, конкурсы исполнителей в управлении проектами, задачи назначения исполнителей (так называемые сложные конкурсы) и др. [32].

Первые систематические постановки задач формирования состава АС (отметим, что речь идет именно о задачах формирования состава, а не управления составом, так как в большинстве известных моделей речь идет о формировании состава АС «с нуля») появились недавно - см. монографию [90]. В упомянутой работе выделяются три общих подхода к решению задач формирования состава АС на основании рассмотрения задач стимулирования. Первый подход заключается в «лобовом» рассмотрении всех возможных комбинаций потенциальных участников АС. Его достоинство - нахождение оптимального решения, недостаток - высокая вычислительная сложность. Второй подход основывается на методах локальной оптимизации (перебора составов АС из некоторой окрестности определенного состава). Используемые при этом эвристические методы в общем случае не дают оптимального ре-шения и поэтому требуют оценивания их гарантированной эффективности. И, наконец, третий подход заключается в исключении заведомо неэффективных комбинаций агентов на основании анализа специфики задачи стимулирования (см.

данный подход применим далеко не всегда, и в каждом конкретном случае возможность его использования требует соответствующего обоснования.

Завершив краткий обзор моделей оптимизации состава АС, перейдем к рассмотрению игр с переменным составом.

Обозначим: I = {1, 2, ..., n} - множество игроков (агентов), Л, - множество допустимых действий (выборов) i-го агента, f(y, r,) - его

целевую функцию, где y = (yh y2, ..., yn) e Л\' = ^Л, - вектор

i<=I

действий агентов, r, e W, - тип i-го агента, i e I, J e 2 - подмножество множества игроков.

Пусть у i-го агента существует действие z e Л,, такое, что "y- i e Л-i fi(y4, z) =Z, где y.t = (yi, ..., y-i, y1+h ..., уП) - обстановка игры для него, A-i = ^^ Aj , i e I. Содержательно, выбирая действие j*i

z e Л,, i-ый игрок отказывается от игры и получает гарантированный (независящий от действий других игроков) выигрыш Z. Игроков, отказавшихся от игры, будем называть пассивными, принимающих участие в игре - активными. Итак, множество активных игроков есть J = {i e I | yi Ф z}, множество пассивных игроков - I \\ J = {i e 11 yi = z}.

Введем множество равновесий Нэша ENJ) игры активных игроков

(1) ENJ) = {xj e AJ I " i e J, "У, e Л, f(xj, zJ > f(xj\\yu zj)}, J с I, где xJ = (xi), e J - вектор действий активных игроков, zI\\J - вектор действий пассивных игроков (то есть, вектор размерности II \\ J|, все элементы которого равны z), xJ\\yi - вектор xJ действий активных игроков, в котором действие i-го игрока x, заменено на y,, i e I.

Очевидно, что на одной и той же исходной игре в нормальной форме Г0 = {I, (Л) e i, f) e /} можно определить 2VI игр, каждая из

которых будет соответствовать участию в ней некоторого подмно-жества множества I игроков.

Анализ игр с переменным составом заключается в исследовании зависимости равновесия и выигрышей игроков от множества J активных агентов.

Определим следующий функционал, отражающий гарантированный суммарный выигрыш активных игроков:

fJ) = mm,, Е f ( Xj , \\j ), J с I,

xJeEN(j) iJ

и функционал

fo(J) = fJ) + \\I \\ J Z, J с I,

отражающий суммарный гарантированный выигрыш всех (и активных, и пассивных) игроков. Очевидно, f(I) = fo(I). Отметим, что учет интересов всех участников (в том числе - пассивных) харак-терно для управления ОП.

Помимо функционалов (2) и (3), характеризующих абсолютные величины выигрышей агентов, можно рассматривать относительные характеристики fJ) / \\ J\\ и f0(J) / \\ J\\, показывающие удельные (приходящиеся «в среднем» на одного активного игрока или, соответственно, на каждого из n игроков) эффективности реализации проекта множеством J исполнителей (нормировка на постоянное число n - размер максимального состава - не имеет смысла).

Обозначим Ф(у) - целевую функцию центра, определенную на множестве A\' всевозможных векторов действий агентов. С точки зрения центра гарантированная эффективность деятельности множества J с I активных игроков равна

K(J = min F(Xj, Zij).

XJ eEN (J)

Таким образом, в рамках рассматриваемой модели возможны следующие пять постановок задач : максимизировать, варьируя множество активных игроков, один из функционалов: f(J), f0(J), fJJ) / JI, f0(J) / JI или K(J).

Качественно, в системах с переменным составом (и однородными участниками) имеют место две противоположных тенденции. С одной стороны, с ростом числа активных участников возрастает интегральный результат их деятельности, а, с другой стороны, возрастают как организационные издержки (затраты на координацию совместной деятельности), так и индивидуальные затраты [73, 82, 90, 91]. Поэтому, как правило, существует промежуточный (по числу участников - между максимальным и минимальным составом) оптимум - такое множество активных игроков, которое максимизирует функционал эффективности, в качестве которого (в зависимости от решаемой исследователем операций задачи) может выступать один из введенных выше функционалов. Поиску этого оптимума для ряда задач управления (типов организационных проектов) и посвящено дальнейшее изложение материала настоящего раздела.

Рассмотрим сначала простейший случай, в котором ОС однородна, то есть, все агенты одинаковы, то есть f(y, r,) = g(y), Л, = Л, i e I, поэтому зависимость от r будем опускать. Тогда действие, доставляющее максимум целевой функции любого активного агента, одинаково для всех из них и определяется числом активных агентов. Обозначим это действие

(5) vm = arg max g((q)m, (z)), m = 1,n.

Выигрыш любого агента равен g((vm)m (z)n-m), поэтому f(m) = m g((Vm)m, (z)n-m),

fo(m) = f(m) + (n - m) Z, fo(m) / m = g((Vm)m, (z)n-m) + (n - m) Z / m,

K(m) = F(Vm)m, (z)n-m), m = 1, n .

Задача оптимизации состава однородной ОС заключается в определении оптимального (по тому или иному, но определенному, критерию) числа однородных активных агентов. Для ее решения достаточно сравнить n + 1 вариант - включение в состав проекта m

агентов, где m = 1, n, и отказ от выполнения проекта (m = 0).

Рассмотрим это решение для случая, когда целевая функция агента имеет вид

(6) g(q, m) = H(q) W+(m) - c(q) W_(m).

Введем следующие предположения:

A = ;

Z = 0;

H(q) - неотрицательная непрерывно дифференцируемая по- ложительнозначная вогнутая функция;

c(q) - неотрицательная непрерывно дифференцируемая по- ложительнозначная возрастающая строго выпуклая функция, c(0) = 0;

W-(m) и W+(m) - неубывающие положительнозначные функции;

lim C(q) = +

q®? H(q)

W (m)

lim —= +

m®? W+ (m)

Содержательные интерпретации функции (6) и введенных предположений таковы: выбирая действие q > 0 агент получает доход, зависящий от этого действия и от числа активных агентов, причем имеет место «эффект кооперации» - с ростом числа активных агентов доход каждого из них возрастает. Кроме того, выбор действия сопряжен для агента с некоторыми затратами (большим действиям соответствуют большие затраты), которые при фиксированном действии возрастают с ростом числа активных агентов возрастают. Последний эффект отражает организационные издерж-

ки - затраты на организацию и координацию совместной деятельности, взаимодействие агентов и т.д.

Из введенных предположений можно сделать выводы, которые сформулируем в виде следующего утверждения (доказательство его справедливости производится апелляцией к известным результатам математического анализа и опускается).

Утверждение 3. Если выполнены предположения 1-7, то в АС с однородными агентами, имеющими целевую функцию (6) для любого числа активных агентов оптимальное действие vm существует, конечно, единственно и удовлетворяет

vm = g- (W(m)),

H\' (q)

где g0 () - функция, обратная к функции g0(q) = ,

с\'( q )

W(m) - WM

W+ (m)

Во многих прикладных задачах целевая функция агента может быть «линеаризована по доходу», то есть, представлена в виде

g(q, m) = q m - c^q) W„(m).

Утверждение 4. Если выполнены предположения 1-7, то в АС с однородными агентами, имеющими целевую функцию (8), для любого числа активных агентов равновесное действие vm существует, конечно, единственно, удовлетворяет

vm = c~\\m / Wfl(m)),

и достигает максимума при конечном числе активных агентов.

Доказательство утверждения . Справедливость выражения (9) вытекает из (7) и (8). Из предположений 5 и 7 следует, что максимум отношения m / W0(m) достигается при конечном m , а из предположения 4 следует монотонность функции c01 (). • Рассмотрим еще более частный случай.

Пример 4. Если выполнены предположения 1-7 и агенты имеют квадратичные функции затрат типа Коба-Дугласа, то в АС с однородными агентами, имеющими целевую функцию (8), для любого числа активных агентов равновесное действие

vm = m / W0(m) существует, конечно, единственно, достигает максимума при конечном числе m активных агентов. Кроме того, f0(m) = fm) = m3 / 2 W0(m). Видно, что в данном случае максимум суммарных равновесных действий и максимум суммы целевых функций активных агентов достигается при одном и том же их числе. •

В заключение настоящего раздела отметим, что, если ОС неоднородна, то есть агенты различаются по своим характеристикам, то задача определения решения игры с переменным составом характе-ризуется высокой сложностью - для каждой из 2 возможных комбинаций активных агентов необходимо вычислить равновесие Нэша их игры, гарантированные значения критериев эффективности, а затем выбрать состав команды проекта, максимизирующий гарантированную эффективность. «Лобовое» решение этой задачи вряд ли целесообразно, так как отсутствие аналитического решения не даст возможности анализировать свойства оптимального состава, устойчивость решения, его чувствительность и т.д. Поэтому перспективным направлением дальнейших исследований представляется выделение классов задач, в которых упорядочение агентов по типам позволяет предложить простые эвристические процедуры (например, включать в команду проекта агентов в порядке убывания их типов) определения рационального состава исполнителей ОП.