4.4. Планирование маркетингового эксперимента

При проведении маркетингового эксперимента необходимо иметь возможность воздействия на поведение объекта, подвергаемого исследованию. Величины, которые воздействуют на объекты изучения, называются факторами.

= fj (^ v" xk ), j = 1,2,..., k (4.1)

К факторам, участвующим в эксперименте, предъявляются требования совместимости и независимости. Обычно, для каждого фактора задаются пограничные значения, в пределах между которыми он может изменяться:

a, < X < b. , i = 1,2,...,k (4.2.)

Значение a. называется нижним, а значение b. - верхним уровнем фактора x. Середина диапазона изменения фактора xi называется основным уровнем и обозначается x . (0). Величина x. измеряется натуральными значениями определенной размерности.

Выбрать модель - значит выбрать вид функции отклика и записать ее уравнение.

y = f (Xj, X2,..., k) (4.3.)

Тогда остается спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений коэффициентов этого уравнения.

Линейная модель может быть записана в виде:

= b0 btx.

о ^ ?ии1Хг (4.4.)

j=1

с неизвестными коэффициентами bo,b1,b2, ...,b k , а квадратическая модель - в виде:

73 \r\n

Y = bo + S bx + S XS j (4.5.)

j=1 i=1 j=1

c коэффициентами b0, bj,b2,...,bk,bt2, bkk . Общее количество неизвестных коэффициентов в этих моделях соответственно равно: и Ck2+ 2

Каждый фактор может принимать в эксперименте (опыте) одно или несколько значений. Такие значения называются уровнями.

С точки зрения значений, которые необходимо придавать каждому фактору, эксперименты могут быть двух, трех и многоуровневыми.

В двухуровневом эксперименте факторам придаются два значения:

y = -1 и y=1 - для линейной функции.

В трехуровневом эксперименте каждому фактору придается три значения: y = -1, y=0 и y= 1 и предполагается полиномом второго порядка.

Многоуровневый эксперимент применяется в тех случаях, когда экспериментальные данные не удается аппроксимировать с помощью функции отклика второго порядка.

Рассмотрим более детально двух - и трехуровневые эксперименты.

При трехуровневом эксперименте, при котором каждый фактор принимает три значения (+1,0,-1), должно быть проведено 3к опытов. Если число факторов равно двум, и каждый фактор принимает все возможные значения, то план эксперимента характеризуется матрицей (табл.4.3.)

Для общего случая, если число уровней равно "P" и опыты проводятся при всевозможных сочетаниях факторов, устанавливаемых на всех уровнях, то эксперимент называется полным факторным экспериментом, а число проводимых опытов для этого случая составит:

N= «Р»к (4.6)

Где: «Р» - число уровней, к - число факторов.

При этом надлежит иметь в виду, что матрицы двухуровневого полного факторного эксперимента обладают следующими характерными свойствами:

Ортогональность. Сумма почленных произведений элементов любых столбцов равна нулю, т.е.:

N

S j =0, i, j = 1,2,..., k; i * j (4.7.)

n=1

Симметричность. Для каждого фактора сумма элементов соответствующего столбца равна нулю, т.е.:

N

SYnj = 0, j = 1,2,...,к; (4.8)

n=1

Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, т.е.:

74 \r\nТаблица 4.2.\r\nНомер Относительные Натуральные Отклик\r\nопыта переменные переменные \r\n Y, Vi T\r\n1 ¦И i-1 El в2 yi\r\nЧ

ir + 1 -1 в1 b2 y2\r\nл

J -1 -H al b2 уз\r\n4 -1 -1 al b2 y4\r\nТаблица 4.3.

75 \r\nN \r\nj = 1,2,..., k;

(4.9)

S Yj = N,

n=1 \r\n

Эти свойства существенно упрощают определение коэффициентов линейной модели, полученной в результате обработки экспериментальных данных.

Число опытов в полном факторном эксперименте превышает число коэффициентов

3

Таблица 4.4.

Двухуровневая jjh- пейна* модель \r\n[6

64

!2В

Число опытов: N-2 Число коэффициентов: m-CV-L

Трехуровневая кпад- ра-тичЕгая модель \r\n11

8]

24?

129

2187

10

15

21

9R

36

Число опытов: N=3" Число коэффш;нен- 14?в: m=C"k+^ \r\nИз табл.4.4.

Рассмотрим правила, согласно которым составляется дробный факторный план (эксперимент). Пусть объект исследования характеризуется "К" факторами (К > 3). Тогда полный факторный эксперимент насчитывает 2к опытов, которые значительно больше, чем количество требуемых коэффициентов для линейной модели: 2к> Ск+1 (см. табл.3)

Предположим, что осуществляется часть полного факторного эксперимента (плана), состоящая из 2копытов, такая, что число опытов в ней больше или равно числу неизвестных коэффициентов линейной модели. При этом объем эксперимента удовлетворяет свойствам ортогональности, симметричности и условию нормировки. Такой эксперимент, обычно, называют дробным факторным экспериментом, а число опытов Ng зависит от показателя " i ".

В зависимости от этого показателя различают следующие дробные факторные планы (эксперименты):

1/2 реплика, если Ng =2k-1 = 1/2 ¦ N; 1/4 реплика, если Ng = 2k-2 = 1/4 ¦ N; 1/8 реплика, если Ng =2k-3 = 1/8 ¦ N;

76 \r\n

1/2\'\' реплика, если Ng =2k-1 = 1/2 ¦ i• N.

COCT^ipr

мента (плана) 23. Чгсл<Н>ОВДЗрв

%LjiY4;

Для правильного использования в практической деятельности маркетинговой службы дробного факторного эксперимента (плана) следует воспользоваться следующей литературой1. В качестве примера рассмотрим две полуреплики полного факторного экспери-

=МС

том

:м.

абл.4.5 и 4.6).

Таблица 4.5.

опыта \r\n+1

+ 1

+ 1 \r\n-1

тт

-1\r\nНомер опыта 4 \r\n1 +1 +1 -1\r\n2 +1 -I + ]\r\n3 -1 + ]\r\n4 -1 -i -1\r\nТаблица 4.6.

Из табл.4.5. и 4.6. видно, что свойства эксперимента выполняются что на основе полного факторного плана 24 получается восемь полуреплик с числом опытов 24 -1.

Рассматривая второй путь - композиционные планы, за основу которых принимают двухуровневый полный факторный эксперимент (эта часть плана называется ортогональной) и к нему добавляют некоторое число опытов, проводимых на других уровнях. Следует отметить, что и здесь можно встретить несколько видов композиционных планов. Рассмотрим, в качестве примера, два вида композиционных планов: В-планы и ротата- бельные планы.

1 ГаёёТТа А.А., хйЭГТаа Г.А. Noaoenoe^aneea iaofau ТёаГёЭТааГёу yenoaaiaeuiuo уёп!&- ЭёТйГоТа. 1.: faoea, 1965.: Ааёйа ^.1., ТааёТаа А.А., АааГТапёёё 1ёаГёатааГёа yeniaaeiaioa таё иёпё& ТЮёТаёиГйо опёТаёё. 1.: 1976.

77 \r\n

В В-планах дополнительные опыты проводятся в так называемых звездных точках, т.е. точках, в которых один фактор принимает значение верхнего или нижнего уровня, а остальные факторы фиксируются на основном уровне. Так, например, если в эксперименте участвуют три фактора, то имеется шесть звездных точек: n1 = 0; n2 = 0; n3 = ±1; n1 = 0; n2 = ±1; n3 = 0; n1 = ±1; n2 = 0; n3 = 0;

шс- \r\n2* + 2к опытов.

ло опытов В-плана составит \r\nТаблица

4.7.

В таблице 4.7. приведен

у2 уЭ у4

OlJhJThl ILUJJHLHLL1 1

Фшг.\'орнош 2

! >K\'C:J I ерм W L-IJI I LL J

В-плад для факторов +J \'

+1 +1

1 -1 ] -1 \r\n+1 -1 0 0

0 0 11 -1

V 5

уб У?

У8

Звездные точки 5 6 \r\nЗа основу композиционного плана может быть (при к>5) принят также дробный факторный эксперимент с числом опытов 2к-1 (полуреплика), если к нему добавить 2к звездных точек. В результате получим В-план с полурепликой (1/2 реплики).

Ротатабельные планы, по своей структуре, аналогичны структуре В-планов.

Для ротатабельного плана вводится понятие звездного плеча а>1, величина равна а=2к/у, если в своей основе план содержит полный факторный эксперимент, или а=2(к~11/4, если план содержит полуреплику.

В ротатабельном плане верхнему и нижнему уровню каждого фактора соответствуют значения +а и -а, (а не +1 и -1). В этой связи, относительным переменным ± 1, характерным для опытов полного (дробного) факторного эксперимента, соответствуют значения натуральных переменных, располагающихся внутри диапазонов их изменения. Звездные точки, входящие в состав одного из факторов, находится на нижнем или верхнем уровне, а остальные - на основном уровне. Так, например, для трех факторов, как и для В-плана, будет шесть звездных точек:

n1 = 0; n2 = 0; n3 = ±а; n1 = 0; n2 = ±а; n3 = 0; n1 = ±а; n2 = 0; n3 = 0.

Количество опытов, проводимых в центре ротатабельного плана, задается всегда однозначно. Так, например, для двух факторов их число равно пяти. В табл.4.8. приведен

78 \r\nротатабельный план при к=2 (для двух факторов). \r\nво BCg^-Зйдах, на> о- название ротат < v

от центра плана, то такой план н зсит

vL

дяЩихся на одинаковом расстоянии от центра бе.

1БНОГО. \r\n4

+ 1

н-L Ч II

_i

У" "

О

-1,414 -1,414

О О О О О

?пыхы нолш™

факторного

ж^пезнмепш

-1,414 -1,414 О О

Звездные точки

11 12 П

Опыты в центре плана

Jfio. ища

у*

v4

уб У?

у 1U >\'11 у12 VI3 \r\n