Оптимизационные модели в маркетинге

Оптимизационными задачами, в экономике называются экономикоматематические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия (критериев) варианта использования наличных ресурсов (материальных, временных и т.д.).

В отличие от дескриптивных, т.е. описательных моделей, примером которых могут служить рассмотренные выше балансовые модели, оптимизационные модели наряду с уравнениями или неравенствами, описывающими взаимосвязи между переменными, содержат также критерий для выбора, называемый функционалом, или целевой функцией. Таким образом, общая структура этих моделей состоит из целевой функции, принимающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области (области допустимых решений), и из ограничений, характеризующих эти условия. Целевая функция в самом общем виде определяется тремя моментами: управляемыми переменными, неуправляемыми параметрами (зависящими, например, от внешней среды) и видом (формой) зависимости между ними (видом функции). Если обозначить критерий оптимальности

через U, управляемые переменные - X = (x), параметры - P = (p), заданные пределы (область) изменения управляемых переменных - М, то общий вид

Задачи вида              (25.27)              решаются              методами              математического

программирования, которое включает в себя линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное программирование и т.д. Выбор методов математического программирования для решения оптимизационных задач определяется видом целевой функции f видом ограничений, определяющих область М и специальными ограничениями на управляемые переменные (например, требованием их целочисленности). Решение задачи получения управнения (25.27) обычно называется оптимальным решением, или оптимальным планом.

Рассмотрим прежде всего оптимизационные задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования (ЗЛП). В общем виде такая задача может быть сформулирована, например, следующим образом.

Найти вектор X = (х1, Х2 ... хп), максимизирующий линейную целевую

f(X) = Z c • xj ^ max

функцию:              j=1              ,              а              также              удовлетворяющий              линейным

функциональным ограничениям:

Кроме того, искомый вектор должен удовлетворять и прямым ограничениям:

Задача (25.28) может быть записана в канонической форме, при которой функциональные ограничения имеют вид равенств. Это достигается путем прибавления к левым частям этих ограничений т дополнительных неотрицательных переменных. ЗЛП в канонической форме решается симплексным методом, в то же время для некоторых ЗЛП специального вида разработаны соответствующие методы (алгоритмы) решения.

Некоторые из них не связаны непосредственно с алгоритмом симплексного метода, как, например, метод потенциалов для решения транспортной задачи; другие же в качестве составных элементов используют вычислительные процедуры симплексного метода. В качестве примера последних можно привести метод Гомори (метод отсечений) для решения задач линейного целочисленного программирования.

Оптимизационные задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования, широко используются в процессе экономикоматематического моделирования (они рассматриваются ниже). Однако задачами линейного программирования не исчерпываются все виды оптимизационных экономических задач, так как во многих случаях целевая функция задачи и ограничения на область допустимых решений не удовлетворяют условиям линейности. Тогда применяются специальные методы нелинейного программирования, например метод множителей Лагранжа, динамического и имитационного программирования и др.

Перейдем к рассмотрению конкретных прикладных задач маркетинга, решаемых на основе оптимизационных моделей.

Статическая модель оптимизации прикрепления потребителей к поставщикам.

В т пунктах отправления (А1, А2 ... Ат), которые в дальнейшем будем называть поставщиками, сосредоточено определенное количество единиц некоторого однородного продукта, которое обозначим ал (і = 1, 2 ... m).

Данный продукт потребляется в n пунктах (В\\, B2 ... Вп), которые будем называть потребителями; объем потребления обозначим через bj (j= 1, 2 ... n).

Известны расходы на перевозку единицы продукта из пункта Аі в пункт В), которые равны с, и приведены в матрице транспортных расходов С = (сі).

Требуется составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам (другими словами, план перевозок), при котором весь продукт вывозится из пунктов Аі в пункты Bj в соответствии с потребностью и общая величина транспортных издержек минимальна.

Обозначим количество продукта, перевозимого из пункта Аі в пункт Bj, через Х). Совокупность всех переменных xij для краткости обозначим

символом X, тогда целевая функция задачи приобретет вид:

А ограничения выглядят следующим образом:

(25, ЗА) (25.31)

п

2 ц = ai; і ~ lgt;m і

м

its              —

2 xv = і** і

i-і

ХуїО-

Условия (25.31) означают полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления; условия (25.30) определяют больший вывоз продукции от всех

поставщиков.

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (25.29) - (25.31) является условие баланса:

К = і ь,              (25.32)

Транспортная задача, в которой имеет место равенство (25.32), называется закрытой и в качестве ЗЛП может быть решена с помощью симплексного метода. Однако благодаря особенностям переменных задачи и системы ограничений разработаны специальные, менее громоздкие методы ее решения.

Чаще всего применяется метод потенциалов, при котором каждой і-й строке (і-му поставщику) устанавливается потенциал U, который можно интерпретировать как цену продукта в пункте поставщика, а каждому столбцу j (j-му потребителю) устанавливается потенциал Vj, принимаемый условно за цену продукта в пункте потребителя.

V = U+ сц.              (25.33)

Алгоритм метода потенциалов для закрытой транспортной задачи детально описан в ряде учебных пособий[§§§].

ограничений (25.31).

Модель оптимизации загрузки производственных мощностей. В общем виде задачу оптимальной загрузки производственных мощностей можно сформулировать следующим образом.

Имеется т предприятий (например, филиалов фирмы), которые могут производить п видов продукции. Известны:

а) аі - фонд рабочего времени (например, в сменах) каждого і-го предприятия; і= 1, 2 ... m;

б) bj- величина потребности в продукции j-го вида; j = 1, 2 ... n;

в) аij - мощность, или количество продукции j-го вида, вырабатываемой (в смену) на і-м предприятии;

г) cij - себестоимость производства единицы j-й продукции на і-м предприятии.

Требуется составить такой план распределения заказов на продукцию по всем предприятиям, при котором суммарные затраты по изготовлению продукции в заданной номенклатуре будут минимальными при полной загрузке производственных мощностей предприятий.

Пусть х.ij - планируемый объем выпуска j-й продукции на і-м

предприятии; совокупность таких величин обозначим X. Тогда целевая функция рассматриваемой задачи имеет вид:

Существуют при этом следующие ограничения:

(25.35)

(25.36)

I І.*-

i=i

Xjсу = tgt;j\